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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sei die Abbildung [mm] f:w=f(z)=\frac{iz+3}{z-i} [/mm] mit [mm] z\in\IC, w\in \IC
[/mm]
a)Diskutiere die Abbildung f (Fixpunkte, Umkehrfunktion, Wirkung auf kreise und Geraden). |
Guten Abend,
Fixpunkte:
[mm] \frac{i(a+bi)+3}{a+bi-i}=a+bi
[/mm]
[mm] a^{2}+2abi-b^{2}=3
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] a^{2}-b^{2}=3
[/mm]
2abi=0
also [mm] a=\pm \sqrt[2]{3} [/mm] und [mm] b=\pm\sqrt[2]{3} [/mm]
Umkehrfunktion:
wz-wi=iz+3
[mm] z=\frac{iz+3+wi}{w}
[/mm]
Stimmt das so?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Hallo kushkush,
> Gegeben sei die Abbildung [mm]f:w=f(z)=\frac{iz+3}{z-i}[/mm] mit
> [mm]z\in\IC, w\in \IC[/mm]
> a)Diskutiere die Abbildung f (Fixpunkte,
> Umkehrfunktion, Wirkung auf kreise und Geraden).
> Guten Abend,
>
>
> Fixpunkte:
>
> [mm]\frac{i(a+bi)+3}{a+bi-i}=a+bi[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ansatz ok!
>
> [mm]a^{2}+2abi-b^{2}=3[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier fehlt was, rechne nochmal nach, m.E. fehlen da noch 2 Summanden ..
>
> Koeffizientenvergleich:
> [mm]a^{2}-b^{2}=3[/mm]
> 2abi=0
>
> also [mm]a=\pm \sqrt[2]{3}[/mm] und [mm]b=\pm\sqrt[2]{3}[/mm]
Ich komme auf die Fixpunkte [mm] $z_1=\sqrt{2}+i, z_2=-\sqrt{2}+i$
[/mm]
>
> Umkehrfunktion:
> wz-wi=iz+3
> [mm]z=\frac{iz+3+wi}{w}[/mm]
hmm, wie kommst du darauf?
Weiter: $wz-iz=wi+3$, also $z(w-i)=wi+3$, damit [mm] $z=\frac{wi+3}{w-i}$
[/mm]
>
>
> Stimmt das so?
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Ich bekomme als neue Gleichung [mm] 2abi-2ai+a^{2}-b^{2}+2b=3 [/mm] ?
Aber aufgelöst nicht dasselbe wie du...
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Hallo nochmal,
> Ich bekomme als neue Gleichung [mm]2abi-2ai+a^{2}-b^{2}+2b=3[/mm] ?
Das sieht gut aus!
>
> Aber aufgelöst nicht dasselbe wie du...
Wieso nicht?
Schreibe es noch ein bisschen weiter um und sortiere nach IOmaginär- und Realteil
[mm] $...\gdw a^{2}-b^{2}+2b-3+2abi-2ai=0\dgw \blue{(a^{2}-b^{2}+2b-3)}+\red{(2ab-2a)}i=0=\blue{0}+\red{0}i$
[/mm]
Wieder Koeffizientenvergleich wegen der Eindeutigkeit von Real- uznd Imaginärteil:
(I) [mm] $\blue{(a^{2}-b^{2}+2b-3)=0}$
[/mm]
(II) [mm] $\red{(2ab-2a)=0}$
[/mm]
In Gleichung (II) nun 2a ausklammern und mit den Ergebnissen in (I) rein und schauen, ob und wenn ja, welche Lösungen sich ergeben ...
Bedenke, dass [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] sind!!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
wie bist du auf das +i bei [mm] \sqrt[2]{2} [/mm] gekommen?
2abi-2ai=0
b=1
[mm] a^{2}-1+2-3=0 [/mm]
[mm] a^{2}=2 [/mm]
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus,
>
>
> wie bist du auf das +i bei [mm]\sqrt[2]{2}[/mm] gekommen?
Die Lösungen sind doch von der Form z=a+bi, mit b=1 steht dann da [mm] $...+1\cdot{}i=...+i$
[/mm]
>
> 2abi-2ai=0
Für a=0 ist die andere Gleichung nicht erfüllbar, bleibt
> b=1
>
> [mm]a^{2}-1+2-3=0[/mm]
> [mm]a^{2}=2[/mm]
Also [mm] $a=\pm\sqrt{2}$
[/mm]
Nun haben wir die 2 Lösungen [mm] $z_1=a_1+b_1i=\sqrt{2}+1\cdot{}i$ [/mm] und [mm] $z_2=a_2+b_2i=-\sqrt{2}+1\cdot{}i$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 So 01.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Danke schachuzipus
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