Diskreter W.-keitsraum < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definition
Ein Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P) heißt diskret, wenn es eine endliche oder abzählbare unendliche Teilmenge D [mm] \subset \Omega [/mm] gibt, für die gilt P(D) = 1. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt dann auch diskret, und die durch [mm] p(\omega) [/mm] := [mm] P(\{ \omega \}) [/mm] definierte Funktion heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion. |
Hallo,
ich habe Probleme mit der oben genannten Definition.
Die Funktion [mm] p(\omega) [/mm] := P( [mm] \{ \omega \}) [/mm] soll ja für beliebige [mm] \omega \in \Omega [/mm] definiert sein.
Nun ist mir aber nicht klar, warum [mm] \{ \omega \} [/mm] zwingend ein Elementarereignis sein muss?
Da [mm] \mathcal{F} [/mm] eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra ist, gilt ja nur [mm] \mathcal{F} \subset \mathcal{P}( \Omega [/mm] )
Warum ist also [mm] \{ \omega \} [/mm] in [mm] \mathcal{F} [/mm] für beliebige omega?
Grüsse
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> Definition
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> Ein Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \mathcal{F},[/mm] P) heißt
> diskret, wenn es eine endliche oder abzählbare unendliche
> Teilmenge D [mm]\subset \Omega[/mm] gibt, für die gilt P(D) = 1.
> Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt dann
> auch diskret, und die durch [mm]p(\omega)[/mm] := [mm]P(\{ \omega \})[/mm]
> definierte Funktion heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion.
> Hallo,
>
> ich habe Probleme mit der oben genannten Definition.
> Die Funktion [mm]p(\omega)[/mm] := P( [mm]\{ \omega \})[/mm] soll ja für
> beliebige [mm]\omega \in \Omega[/mm] definiert sein.
> Nun ist mir aber nicht klar, warum [mm]\{ \omega \}[/mm] zwingend
> ein Elementarereignis sein muss?
Das kleingeschriebene omega, also [mm] \omega [/mm] , steht hier für
ein einzelnes Element der Menge [mm] \Omega [/mm] - und nicht für eine
Teilmenge von [mm] \Omega [/mm] .
Also ist für jedes [mm] \omega [/mm] das entsprechende Ereignis [mm] \{\omega\} [/mm]
elementarerweise ein Elementarereignis !
LG , Al-Chw.
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Ich weiß, dass [mm] \{ \omega \} [/mm] das zugehörige Elementarereignis zu [mm] \omega,
[/mm]
ABER woher weiß man, dass [mm] \{ \omega \} \in [/mm] F ist?
Dies wäre klar, wenn F die Potenzmenge von Omega ist, aber das ist sie ja nicht zwingend.
Hoffentlich ist jetzt klarer, wo mein Problem liegt.
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> Ich weiß, dass [mm]\{ \omega \}[/mm] das zugehörige
> Elementarereignis zu [mm]\omega,[/mm]
> ABER woher weiß man, dass [mm]\{ \omega \} \in[/mm] F ist?
> Dies wäre klar, wenn F die Potenzmenge von Omega ist,
> aber das ist sie ja nicht zwingend.
> Hoffentlich ist jetzt klarer, wo mein Problem liegt.
Aha. Ich denke aber, dass man in dem vorliegenden
Fall stets zuerst von [mm] $\tilde{F}\ [/mm] =\ [mm] P(\Omega)$ [/mm] ausgehen kann
mit der "feinstmöglichen" [mm] \sigma [/mm] - Algebra - und diese
dann allenfalls zur gewünschten F "vergröbern".
Ich glaube, man spricht dann von einem "induzierten
Wahrscheinlichkeitsmaß".
Man könnte also allenfalls, um auf dein Anliegen einzu-
gehen, die Aufgabenstellung leicht modifizieren:
"Ein Wahrscheinlichkeitsraum $ [mm] \green{(\Omega, \mathcal{F}, }$ [/mm] P) heißt diskret,
wenn es eine endliche oder abzählbare unendliche
Teilmenge D $ [mm] \green{\subset \Omega} [/mm] $ gibt, für die gilt P(D) = 1.
Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt dann
auch diskret, und die durch $ [mm] \green{p(\omega)\ :=\ P(\{ \omega \})} [/mm] $
definierte induzierte Funktion heißt Wahrschein-
lichkeitsfunktion."
Falls es sich um eine Aufgabe handelt, kannst du ja
vielleicht noch beim Aufgabensteller nachfragen.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Fry |
Hallo :),
also die [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal [/mm] F$ ist eigentlich ja irrelevant, eigentlich müsste/wird ja der W-Raum dann auf den W-Raum [mm] $(D,\mathcal P(D),\mathbb [/mm] P)$
reduziert.
LG
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Fry |
Aber stimmt schon, für
[mm]\omega\not\in D[/mm] gilt nicht automatisch
[mm]\{\omega\}\in\mathcal F[/mm]
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| Aufgabe | Lemma
(i) Für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen gilt
P(A) = [mm] \summe_{\omega \in A}p(\omega)
[/mm]
d.h. P ist durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion vollständig festgelegt.
(ii) Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion p: [mm] \Omega \to \IR [/mm] hat folgende Eigenschaften:
(W1) [mm] p(\omega) [/mm] = 0 bis auf abzählbar viele [mm] \omega \in \Omega
[/mm]
(W2) [mm] p(\omega) \ge [/mm] 0 für alle [mm] \omega \in \Omega
[/mm]
(W3) [mm] \summe_{\omega \in \Omega}p(\omega) [/mm] = 1
Umgekehrt definiert jede Funktion, die diesen drei Bedingungen genügt, eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung auf [mm] \Omega. [/mm] |
> Hallo :),
>
> also die [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal F[/mm] ist eigentlich ja
> irrelevant, eigentlich müsste/wird ja der W-Raum dann auf
> den W-Raum [mm](D,\mathcal P(D),\mathbb P)[/mm]
> reduziert.
>
> LG
> Christian
Hallo,
okay, das hatte ich mir auch gedacht, aber dann funktioniert, meiner Meinung nach, das oben genannte Lemma nicht.
Konkret geht es um (ii) (W2). Dies besagt, dass [mm] p(\omega) \ge [/mm] 0 für alle [mm] \omega \in \Omega.
[/mm]
Es gilt: [mm] D\cup D^C [/mm] = [mm] \Omega, [/mm] wobei [mm] D^C [/mm] das Komplement von D bzgl. [mm] \Omega [/mm] ist.
Für [mm] \{\omega\} [/mm] mit [mm] \omega \in D^C [/mm] ist [mm] P(\{\omega\}) [/mm] aber gar nicht definiert,
weil wir ja den induzierten W-Raum betrachten, und wenn man den allgemeinen W-Raum betrachtet,
weiß man ja eben nicht, ob [mm] \{\omega\} [/mm] mit [mm] \omega \in D^C [/mm] überhaupt ein Elementarereignis ist.
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> Lemma
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> (i) Für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen gilt
>
> P(A) = [mm]\summe_{\omega \in A}p(\omega)[/mm]
>
> d.h. P ist durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion
> vollständig festgelegt.
>
> (ii) Eine Wahrscheinlichkeitsfunktion p: [mm]\Omega \to \IR[/mm] hat
> folgende Eigenschaften:
>
> (W1) [mm]p(\omega)[/mm] = 0 bis auf abzählbar viele [mm]\omega \in \Omega[/mm]
>
> (W2) [mm]p(\omega) \ge[/mm] 0 für alle [mm]\omega \in \Omega[/mm]
> (W3)
> [mm]\summe_{\omega \in \Omega}p(\omega)[/mm] = 1
>
> Umgekehrt definiert jede Funktion, die diesen drei
> Bedingungen genügt, eine diskrete
> Wahrscheinlichkeitsverteilung auf [mm]\Omega.[/mm]
> > Hallo :),
> >
> > also die [mm]\sigma[/mm]-Algebra [mm]\mathcal F[/mm] ist eigentlich ja
> > irrelevant, eigentlich müsste/wird ja der W-Raum dann auf
> > den W-Raum [mm](D,\mathcal P(D),\mathbb P)[/mm]
> > reduziert.
> >
> > LG
> > Christian
>
> Hallo,
>
> okay, das hatte ich mir auch gedacht, aber dann
> funktioniert, meiner Meinung nach, das oben genannte Lemma
> nicht.
> Konkret geht es um (ii) (W2). Dies besagt, dass [mm]p(\omega) \ge[/mm]
> 0 für alle [mm]\omega \in \Omega.[/mm]
> Es gilt: [mm]D\cup D^C[/mm] =
> [mm]\Omega,[/mm] wobei [mm]D^C[/mm] das Komplement von D bzgl. [mm]\Omega[/mm] ist.
> Für [mm]\{\omega\}[/mm] mit [mm]\omega \in D^C[/mm] ist [mm]P(\{\omega\})[/mm] aber
> gar nicht definiert, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
wir haben ja aber auch noch (W1) , das besagt, dass
$ [mm] p(\omega) [/mm] $ = 0 für fast alle $ [mm] \omega \in \Omega [/mm] $
> weil wir ja den induzierten W-Raum betrachten, und wenn
> man den allgemeinen W-Raum betrachtet,
> weiß man ja eben nicht, ob [mm]\{\omega\}[/mm] mit [mm]\omega \in D^C[/mm]
> überhaupt ein Elementarereignis ist.
Ob du diese unmöglichen Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0
überhaupt noch ernsthaft in Betracht ziehen willst, ist wohl
Geschmackssache oder kann meiner Meinung nach ebensogut
den Vielosophen überlassen werden ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Al!
> Ob du diese unmöglichen Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit
> 0
> überhaupt noch ernsthaft in Betracht ziehen willst, ist
> wohl
> Geschmackssache oder kann meiner Meinung nach ebensogut
> den Vielosophen überlassen werden ...
Zumindest möchte man manchmal diskrete Zufallsgrößen als Spezialfall allgemeiner Zufallsgrößen betrachten. (Denke etwa an die Anwendung eines zentralen Grenzwertsatzes für nicht notwendig diskrete Zufallsgrößen auf diskrete Zufallsgrößen.)
Deren Verteilung ist dann eine diskrete Verteilung auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$.
[/mm]
Hier kann man die Elementarerignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 also nicht völlig ignorieren.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Die_Suedkurve!
> Definition
>
> Ein Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega, \mathcal{F},[/mm] P) heißt
> diskret, wenn es eine endliche oder abzählbare unendliche
> Teilmenge D [mm]\subset \Omega[/mm] gibt, für die gilt P(D) = 1.
> Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt dann
> auch diskret, und die durch [mm]p(\omega)[/mm] := [mm]P(\{ \omega \})[/mm]
> definierte Funktion heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion.
> ich habe Probleme mit der oben genannten Definition.
Nicht du hast das Problem, sondern der Dozent, dem hier ein klarer Fehler unterlaufen ist.
> Die Funktion [mm]p(\omega)[/mm] := P( [mm]\{ \omega \})[/mm] soll ja für
> beliebige [mm]\omega \in \Omega[/mm] definiert sein.
> Nun ist mir aber nicht klar, warum [mm]\{ \omega \}[/mm] zwingend
> ein Elementarereignis sein muss?
> Da [mm]\mathcal{F}[/mm] eine [mm]\sigma[/mm] - Algebra ist, gilt ja nur
> [mm]\mathcal{F} \subset \mathcal{P}( \Omega[/mm] )
> Warum ist also [mm]\{ \omega \}[/mm] in [mm]\mathcal{F}[/mm] für beliebige
> omega?
Das gilt im Allgemeinen gar nicht.
Dein Einwand ist also völlig berechtigt.
Gut aufgepasst! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die einzigen mir bekannten konkreten Beispiele, in denen man von einer diskreten Verteilung spricht, sind welche mit abzählbarem [mm] $\Omega$ [/mm] und [mm] $\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] sowie welche mit [mm] $\Omega=\IR$ [/mm] und [mm] $\mathcal{F}=\mathcal{B}$ [/mm] (Borelsche Sigma-Algebra).
In diesen beiden Spezialfällen sind alle einelementigen Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] Ereignisse.
Wie die allgemeine Definition gemeint sein soll, solltest du deinen Dozenten fragen.
Wenn er integer ist, solltest du damit eher Plus- als Minuspunkte sammeln.
Mir erscheint am sinnvollsten, für einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum explizit zu fordern, dass alle einelementigen Teilmengen von [mm] $\Omega$ [/mm] Ereignisse sind.
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias,
ich danke dir. Damit hätte sich dann auch meine andere Frage erledigt.
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Fry |
Aber die Verteilungen mit [mm] $\Omega=\mathbb [/mm] R$ und [mm] $\mathcal F=\mathcal [/mm] B$ gehören nicht zu den diskreten Verteilungen, sind ja stetige Verteilungen (bei Vorliegen einer Dichtefunktion)...
ok, gut, kommt auf die Betrachtungsweise an ;) D kann natürlich dann trotzdem abzählbar unendlich oder so sein...
LG
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fry!
> Aber die Verteilungen mit [mm]\Omega=\mathbb R[/mm] und [mm]\mathcal F=\mathcal B[/mm]
> gehören nicht zu den diskreten Verteilungen, sind ja
> stetige Verteilungen...
Nein.
Beliebige Verteilungen auf [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] müssen weder diskret noch stetig sein.
Sie können aber diskret sein.
Denke etwa an die Situation, dass wir einen zentralen Grenzwertsatz für Zufallsgrößen mit Werten in [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] vorliegen haben.
Nun wollen wir ihn z.B. auf binomialverteilte Zufallsgrößen anwenden.
Dann müssen wir die binomialverteilten (diskreten) Zufallsgrößen als Zufallsgrößen mit Werten in [mm] $(\IR,\mathcal{B})$ [/mm] auffassen, um den vorliegenden zentralen Grenzwertsatz anwenden zu können.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mo 21.10.2013 | | Autor: | Fry |
Jap, hab nach Absenden des Artikels gecheckt, wie du´s gemeint hast, und dann editiert ;)
LG
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