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| Aufgabe | Ein Zyklus der Länge k ist eine Permutation der Form a1->a2->a3->...->ak->a1 mit k verschiedenen Elementen, die alle anderen Elemente nicht verändert. Man schreibt dafür kurz: (a1,a2,...,ak). Eine Transposition ist ein Zyklus der Länge 2, d.h. eine Permutation, die genau zwei Elemente vertauscht und die übrigen nicht verändert.
Man zeige: Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten Zyklen geschrieben werden. Hinweis: Das Inverse eines Zyklus ist wieder ein Zyklus. |
Hierfür habe ich verschiedene Möglichkeiten des Ansatzes "entwickelt". Die führen aber alle zu Widersprüchen, oder zu gar keinem Ergebnis. Ich komm einfach nich weiter.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke.
Simon.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Fr 09.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
> Ein Zyklus der Länge k ist eine Permutation der Form
> a1->a2->a3->...->ak->a1 mit k verschiedenen Elementen, die
> alle anderen Elemente nicht verändert. Man schreibt dafür
> kurz: (a1,a2,...,ak). Eine Transposition ist ein Zyklus der
> Länge 2, d.h. eine Permutation, die genau zwei Elemente
> vertauscht und die übrigen nicht verändert.
>
> Man zeige: Jede Permutation kann als Produkt von disjunkten
> Zyklen geschrieben werden. Hinweis: Das Inverse eines
> Zyklus ist wieder ein Zyklus.
> Hierfür habe ich verschiedene Möglichkeiten des Ansatzes
> "entwickelt". Die führen aber alle zu Widersprüchen, oder
> zu gar keinem Ergebnis. Ich komm einfach nich weiter.
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> Danke.
Hallo
Dann zeig doch mal die Ansäze, dann schauen wir, ob du Fehler drin hast.
Marius
> Simon.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Habe versucht das ganze über eine S6 zu zeigen mit der Herangehensweise das Pi hoch 4 = id ist. Aber das is eben nicht allgemeingültig genug und führte auch nich wirklich viel weiter als bis zu der Aussage.
Ein zweiter Versuch war, das ganze über die Permutation [mm] \pmat{ a1 & a2 & a3 & ... & ak\\ b(a1) & b(a2) & b(a3) & ... & B(ak) } [/mm] zu zeigen, aber dazu ist mir dann überhaupt kein weiterführender Ansatz eingefallen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Fr 09.11.2007 | | Autor: | andreas |
hi
vielleicht eine idee, wie man grob für $G = [mm] S_n$ [/mm] vorgehen kann: etwa mit induktion über [mm] $|\textrm{Fix}(\sigma)|$, [/mm] wobei [mm] $\textrm{Fix}(\sigma) [/mm] := [mm] \{k \in \{1, ..., n\}: \sigma(k) = k \}$ [/mm] die ziffern sind, die von [mm] $\sigma$ [/mm] nicht verändert werden.
IA: ist [mm] $|\textrm{Fix}(\sigma)| [/mm] = n$, so ist [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \textrm{id}$ [/mm] und die aussage ist klar.
IS: sei [mm] $|\textrm{Fix}(\sigma)| [/mm] < n$, dann gibt es ein $k$ mit [mm] $\sigma(k) \not= [/mm] k$. bilde die potenzen [mm] $\sigma^i(k)$, [/mm] $i [mm] \geq [/mm] 1$. die wird irgendwann wieder $k$ (warum?), zum ersten mal etwa für $i = [mm] \ell$. [/mm] betrachte [mm] $\pi [/mm] = (k, [mm] \sigma(k), \sigma^2(k), [/mm] ..., [mm] \sigma^{\ell - 1}(k))$. [/mm] dann lässt sich auf [mm] $\pi^{-1} \circ \sigma$ [/mm] die induktionsvoraussetzung anwenden (warum?). und man ist fertig.
versuche das mal weiter auszuarbeiten. mit einem ähnlichen argument kann man auch die andere von dir hier gestellte aufgabe erledigen.
grüße
andreas
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Danke für die Antwort, stimmt bestimmt auch, aber das Problem is, dass ich nich weiß, was du mit Fix meinst, das hatten wir noch nich. Wir sind bei Gruppen, ntergruppen und Kernel und so nem Kram.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Sa 10.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Danke für die Antwort, stimmt bestimmt auch, aber das
> Problem is, dass ich nich weiß, was du mit Fix meinst, das
sind die Elemente die durch die Permutation auf sich selbst abgebildet werden.
Lies nochmal Andreas' Antwort.
Gruß
Will
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