Disjunkte Vereinigung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Fr 01.12.2006 | | Autor: | BettiBoo |
| Aufgabe | Eine Menge M heißt bekanntlich endlich, wenn M leer ist oder wenn es n [mm] \in \IN [/mm] gibt, so dass M gleichmächtig zu der Menge {k|k [mm] \in \IN, [/mm] 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n} ist. Man zeige:
Die Vereinigung von zwei endlichen Mengen ist endlich. (Tipp: Zeigen Sie das zuerst für disjunkte Vereinigungen) |
In einer anderen Aufgabe, habe ich schon gezeigt, dass jede Teilmenge einer endlichen Menge endlich, dies sollen wir hier auch noch zur Hilfe nehmen. (aber das muss ich ja dann erst zum schluss zeigen :) )
Na ja aber irgendwie drehe ich mich hier momentan im Kreis, ich habe folgendes aufgeschrieben:
Die Vereinigung von zwei endlichen Mengen ist endlich
Es gibt ein f: (1,
, n) [mm] \Rightarrow [/mm] A hat n Elemente
Es gibt ein g: (1,
, k) [mm] \Rightarrow [/mm] B hat k Elemente
[mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \vee [/mm] B sind endlich
[mm] \Rightarrow [/mm] es muss ein bijektives h: (1,
, l) geben [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B hat l Elemente, denn die Mächtigkeit einer disjunkten Vereinigung ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten [mm] \Rightarrow [/mm] l = n + k
Sei also C die disjunkte Vereinigung von A [mm] \cup [/mm] B, dann ist A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset, [/mm] denn disjunkt heißt, dass die beiden Mengen A und B keine Elemente gemeinsam haben, da A eben n Elemente hat und B k Elemente.
Aber irgendwie reicht mir das nicht als Beweis, kann mir da einer vllt mal noch Tipps und so geben was man noch zu beachten hat oder was eben anfügen kann?
Vielen lieben Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Die Vereinigung von zwei endlichen Mengen ist endlich.
> Die Vereinigung von zwei endlichen Mengen ist endlich
> Es gibt ein f: (1,
, n) [mm]\Rightarrow[/mm] A hat n Elemente
> Es gibt ein g: (1,
, k) [mm]\Rightarrow[/mm] B hat k Elemente
> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\vee[/mm] B sind endlich
> [mm]\Rightarrow[/mm] es muss ein bijektives h: (1,
, l) geben
> [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\cup[/mm] B hat l Elemente, denn die Mächtigkeit
> einer disjunkten Vereinigung ist gleich der Summe der
> Einzelmächtigkeiten [mm]\Rightarrow[/mm] l = n + k
>
> Sei also C die disjunkte Vereinigung von A [mm]\cup[/mm] B, dann ist
> A [mm]\cap[/mm] B = [mm]\emptyset,[/mm] denn disjunkt heißt, dass die beiden
> Mengen A und B keine Elemente gemeinsam haben, da A eben n
> Elemente hat und B k Elemente.
Ich denke hier waere es gut wenn man die Bijektive Abbildung h explizit aufschreibt. Nehmen wir also an es gibt
Es gibt ein f: (1,
, n) [mm]\Rightarrow[/mm] A hat n Elemente
Es gibt ein g: (1,
, k) [mm]\Rightarrow[/mm] B hat k Elemente
und [mm] A \cap B = \emptyset[/mm]
Dann ist h:(1,...,n,n+1,...,n+k) [mm]\Rightarrow A \cup B[/mm] (hat n+k Elemente) eine Bijektion mit
[mm] h([1,n] ) = A[/mm] und [mm] h([n+1,n=k])=g([ 1,k])=B [/mm]
Dann ist [mm]A \cup B[/mm] endlich. Ist nun [mm]A \cap B \not= \emptyset[/mm] dann ist h nicht mehr injektiv. Wegen der endlich vielen Verknuepfungen bei h koennen wir aber alle "doppelten Zuordnungen von Hand eliminieren". Mit anderen Worten: Der Schnitt von A und B ist auch endlich. Dann finden wir auch ein [mm]\overline{h}[/mm] mit
[mm]\overline{h}: (1,..., l) \Rightarrow A \cup B[/mm] wobei [mm] l < n+k [/mm].
Wie die letzte Abbildung aussehen koennte, kannst du dir ja ueberlegen.
Gruss Micha 
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