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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | Seien U, W Untervektorräume eines Vektorraumes V. Wir schreiben U + W für die Menge
U + W := { u + v : u [mm] \in [/mm] U , v [mm] \in [/mm] V}
Wir sagen, dass V die direkte Summe von U und W ist und wir schreiben V = U [mm] \oplus [/mm] W falls
V = U + W und U [mm] \cap [/mm] W = {0}. Zeigen sie:
(i) U + W ist ein Untervektorraum von V.
(ii) V = U [mm] \oplus [/mm] W genau dann, wenn es für alle v [mm] \in [/mm] V zwei eindeutig bestimmte Vektoren
[mm] v_{u} \in [/mm] U und [mm] v_{w} \in [/mm] W gibt, so dass v = [mm] v_{u} [/mm] + [mm] v_{w}. [/mm] |
Wenn U und W zusammen V ergeben, müssen sie doch Teilmengen von V, und damit Untervektorräuzme sein, oder nicht? Aber ich weiß nicht wie ich das mathematisch beweise...
Bei (ii) fehlt mir ebenso der Ansatz. Aber auch hier gilt doch, dass ein Vektor v [mm] \in [/mm] V zwangsläufig entweder in U oder W auch enthalten sein muss, oder sehe ich das falsch?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Seien U, W Untervektorräume eines Vektorraumes V. Wir
> schreiben U + W für die Menge
>
> U + W := { u + v : u [mm]\in[/mm] U , v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V}
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> Wir sagen, dass V die direkte Summe von U und W ist und wir
> schreiben V = U [mm]\oplus[/mm] W falls
> V = U + W und U [mm]\cap[/mm] W = {0}. Zeigen sie:
>
> (i) U + W ist ein Untervektorraum von V.
> (ii) V = U [mm]\oplus[/mm] W genau dann, wenn es für alle v [mm]\in[/mm] V
> zwei eindeutig bestimmte Vektoren
> [mm]v_{u} \in[/mm] U und [mm]v_{w} \in[/mm] W gibt, so dass v = [mm]v_{u}[/mm] +
> [mm]v_{w}.[/mm]
> Wenn U und W zusammen V ergeben, müssen sie doch
> Teilmengen von V, und damit Untervektorräuzme sein, oder
> nicht? Aber ich weiß nicht wie ich das mathematisch
> beweise...
Natürlich sind U,W Untervektorräume von V. Das steht ja auch in der Aufgabe. Du sollst zeigen, dass $U+W$ ein Untervektorraum ist. Dazu musst du die Untervektorraumeigenschaften bei $U+W$ untersuchen. Das sind 3 Stück. Welche?
>
> Bei (ii) fehlt mir ebenso der Ansatz. Aber auch hier gilt
> doch, dass ein Vektor v [mm]\in[/mm] V zwangsläufig entweder in U
> oder W auch enthalten sein muss, oder sehe ich das falsch?
Hier sind zwei Richtungen zu zeigen.
"=>" Es gelte [mm] $V=U\oplus [/mm] W$. Wir zeigen ...
"<=" Es gelte für alle Vektoren [mm] $v\in [/mm] V$ gibt es eine eindeutige Zerlegung.
Fang am besten aber mit (i) erst einmal an.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Frisco |
Also bei der i musst du folgende 3 Eigenschaften nachweißen
i.) [mm]0 \in U+V[/mm]
ii.) Wenn [mm]w_1 \in U+V[/mm] und [mm]w_2 \in U+V[/mm] dann muss auch [mm]w_1+w_2 \in U+V[/mm] sein
iii.) Für [mm]\alpha \in \IR[/mm] muss gelten [mm]\alpha w \in U+V[/mm]
Zu i.) das müsste klar sein, denn [mm]0+0=0 [/mm] und damit [mm]0 \in U+V[/mm]
ii.) Wählen [mm]w_1=u_1+v_1[/mm] und [mm]w_2=u_2+v_2[/mm] nun dann ist [mm]w_1+w_2=u_1+v_1+u_2+v_2= \underbrace{(u_1+u_2)}_{\in U}+ \underbrace{(v_1+v_2)}_{\in V}[/mm] und damit [mm]w_1+w_2 \in U+V [/mm]
iii.) [mm]\alpha w=\alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v[/mm] und damit wieder [mm]\alpha w \in U+V[/mm] da [mm]U, V[/mm] selber UVR sind.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:23 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also bei der i musst du folgende 3 Eigenschaften
> nachweißen
> i.) [mm]0 \in U+V[/mm]
> ii.) Wenn [mm]w_1 \in U+V[/mm] und [mm]w_2 \in U+V[/mm] dann
> muss auch [mm]w_1+w_2 \in U+V[/mm] sein
> iii.) Für [mm]\alpha \red{\;\in \IR}[/mm] muss gelten [mm]\alpha w \in U+V[/mm]
iii) stimmt so nicht: In der Aufgabe steht an keiner Stelle, dass [mm] $V\,$ [/mm] ein
[mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] (bzw. anders gesagt: ein Vektorraum über [mm] $\IR$) [/mm] sei.
Meist ist hier einfach ein [mm] $K\,$-Vektorraum [/mm] gemeint (wobei [mm] $K\,$ [/mm] irgendein
Körper sei).
Übrigens passen Deine Bezeichnungen auch nicht zu denen aus der
Aufgabenstellung:
Dort war der Ausgangsvektorraum [mm] $\blue{V}\,$ [/mm] und die Unterräume hießen
[mm] $U\,$ [/mm] und [mm] $\red{W}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 So 17.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
| Aufgabe | (ii)
V = U [mm] \oplus [/mm] W genau dann, wenn es für alle v [mm] \in [/mm] V zwei eindeutig bestimmte Vektoren [mm] v_{u} \in [/mm] U und [mm] v_{w} \in [/mm] W gibt, so dass
v = [mm] v_{u} [/mm] + [mm] v_{w} [/mm] |
Also, der erste Teil der Aufgabe ist mir jetzt klar, ich nutze einfach die Vorraussetzung, dass U und W als Untervektorräume definiert sind, und dadurch für diese alle drei Axiome erfüllt.
Aber bei Teil (ii) steh ich immer noch auf dem Schlauch.
Ein Tipp für einen Ansatz wäre sehr hilfreich :) Aber bitte nur ein Tipp, und keine Lösung...
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"Richtung: [mm]U\oplus W=V \Rightarrow[/mm] eindeutige Zerlegung von [mm]v\in V[/mm]
Nach Definition von direkter Summe existiert mindestens eine Zerlegung [mm]v=u+w[/mm] mit [mm]u\in U,w\in W[/mm] für [mm]v\in V [/mm].
Deine Aufgabe ist zu zeigen, dass diese eindeutig ist.
- suche Definition von direkter Summe heraus
- nimm an, dass es zwei Zerlegungen von [mm]v\in V[/mm] gibt
- formuliere vorherigen Punkt durch eine Gleichung
- sortiere die Gleichung nach Vektorräumen um
- nutze Definition der direkten Summe, um etwas über [mm]U\cap W[/mm] zu sagen
- folgere daraus, dass die zwei Darstellungen doch gleich waren
Grundidee für Eindeutigkeitsbeweise: Nimm an, dass es zwei verschiedene Darstellung gibt und bilde deren Differenz.
"Richtung: [mm]U\oplus W=V \Leftarrow[/mm] eindeutige Zerlegung von [mm]v\in V[/mm]
Du musst beide Punkte der Definition einer direkten Summe nachweisen.
- zeige $U+W=V$ (einfache Begründung)
- nimm einen beliebigen Vektor [mm] $x\in U\cap [/mm] W$
- betrachte $x=x+0=0+x$
- nutze die Voraussetzung, dass sich jeder Vektor in V eindeutig zerlegen lässt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 So 17.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Also Ich habe jetzt folgendes:
Annahme: Es gibt mehr als eine Zerlegung:
v=u+w=n+m
mit: u,n [mm] \in [/mm] U und w,m [mm] \in [/mm] w
-> u+w = n + m
u-n = m-w
da (u-n) [mm] \in [/mm] U und (m-w) [mm] \in [/mm] W sind, gilt:
U [mm] \cap [/mm] W :{(u-n), (m-w)}
Da per Definition aber gelten muss:U [mm] \cap [/mm] W :{ }
ist hier ein Widerspruch, d.h. die Zerlegung ist Eindeutig.
Ist das jetzt schon die fertige Antwort auf dei Frage?
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> Also Ich habe jetzt folgendes:
> Annahme: Es gibt mehr als eine Zerlegung:
> v=u+w=n+m
> mit: u,n [mm]\in[/mm] U und w,m [mm]\in[/mm] w
> -> u+w = n + m
> u-n = m-w
> da (u-n) [mm]\in[/mm] U und (m-w) [mm]\in[/mm] W sind, gilt:
> U [mm]\cap[/mm] W :{(u-n), (m-w)}
Hallo,
was soll der Doppelpunkt bedeuten?
Richtig wäre
[mm] \{u-n,m-w\}\subseteq U\cap [/mm] W.
> Da per Definition aber gelten muss:U [mm]\cap[/mm] W :{ }
???
Was meinst Du damit?
Es kann doch nie und nimmer [mm] U\cap [/mm] W die leere Menge sein! (Warum eigentlich nicht?)
Vielleicht schaust Du Dir die Definition der direkten Summe mal an...
LG Angela
> ist hier ein Widerspruch, d.h. die Zerlegung ist
> Eindeutig.
>
> Ist das jetzt schon die fertige Antwort auf dei Frage?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Ymaoh |
Oh, ich habe mich verlesen. Die Schnittmenge von U und W hat natürlich das Nullelement als Element. Dann würde aber meine Argumentation doch trotzdem funktionieren, oder?
Denn dann müssten sowohl u-n als auch m-w jeweils das Nullelement ergeben, und daraus folgt dann:
u=n und m=w
Und das wäre wieder eindeutig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:36 Mo 18.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Oh, ich habe mich verlesen. Die Schnittmenge von U und W
> hat natürlich das Nullelement als Element. Dann würde
> aber meine Argumentation doch trotzdem funktionieren,
> oder?
>
> Denn dann müssten sowohl u-n als auch m-w jeweils das
> Nullelement ergeben, und daraus folgt dann:
> u=n und m=w
> Und das wäre wieder eindeutig.
Ja
FRED
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