Direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:54 Do 10.04.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | | Es sei V ein endlich-dimensionaler Verktorraum, [mm] W_1,...,W_r \subsetV [/mm] Untervektorräume mit [mm] \summe_{i}dimW_i=dimV. [/mm] Zeigen Sie: V ist die direkte Summe [mm] V=\oplus_iW_i [/mm] der [mm] W_i [/mm] genau dann, wenn für alle i=1,...,r gilt: [mm] W_i\cap(W-1+...+W_{i-1}+W{i+1}+...+W_r)=\left\{0\right\} [/mm] |
Ich hatte bisher noch keine Gelegenheit, mich mit der Aufgabe zu befassen, werde das aber in den nächsten Tagen tun und hoffe bis dahin auf Anregungen...
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> Ich hatte bisher noch keine Gelegenheit, mich mit der
> Aufgabe zu befassen, werde das aber in den nächsten Tagen
> tun und hoffe bis dahin auf Anregungen...
Hallo,
Du bist nun schon eine Weile bei uns, und es sollte Dir bekannt sein, daß wir eigene Lösungsansätze von Dir erwarten.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:02 So 13.04.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hallo, ich habe die selbe Aufgabe und komm nicht wirklich weiter
$ [mm] V=\oplus_iW_i [/mm] $ heißt doch:
V = [mm] W_1 [/mm] + ... + [mm] W_r [/mm] und [mm] \bigcap_{i=1}^{r}W_i= [/mm] {0}
also folgt $ [mm] W_i\cap(W-1+...+W_{i-1}+W{i+1}+...+W_r)=\left\{0\right\} [/mm] $ doch direkt aus der Definition, oder täusche ich mich da?
Nun die Rückrichtung:
Es gilt also:
$ [mm] \summe_{i}dimW_i=dimV. [/mm] $
und $ [mm] W_i\cap(W-1+...+W_{i-1}+W{i+1}+...+W_r)=\left\{0\right\} [/mm] $
hieraus folgt [mm] \bigcap_{i=1}^{r}W_i [/mm] = {0}?
wie zeige ich denn, dass V = [mm] W_1 [/mm] + ... + [mm] W_r [/mm] ?
Ich wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte!
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> [mm]V=\oplus_iW_i[/mm] heißt doch:
> V = [mm]W_1[/mm] + ... + [mm]W_r[/mm] und [mm]\bigcap_{i=1}^{r}W_i=[/mm] {0}
Hallo,
ist das, was Du oben schreibst, wirklich Eure Definition für die direkte Summe? (Sollt' mich wundern...)
Klär' das zunächst, ohne die Def. braucht man gar nicht zu beginnen mit der Aufgabe.
>
> also folgt
> [mm]W_i\cap(W_1+...+W_{i-1}+W{i+1}+...+W_r)=\left\{0\right\}[/mm]
> doch direkt aus der Definition, oder täusche ich mich da?
Es folgt jedenfalls nicht aus dem, was Du oben schreibst.
Beispiel
[mm] \IR^2=<\vektor{1 \\ 0}>+ <\vektor{0 \\ 1}> [/mm] + [mm] <\vektor{1 \\ 1}>,
[/mm]
und es ist [mm] \{ \vektor{0 \\ 0}\}=<\vektor{1 \\ 0}>\cap <\vektor{0 \\ 1}> \cap <\vektor{1 \\ 1}>,
[/mm]
jedoch ist [mm] <\vektor{1 \\ 0}>\cap (<\vektor{0 \\ 1}> [/mm] + [mm] <\vektor{1 \\ 1}>)\not=\{ \vektor{0 \\ 0}\}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Mo 14.04.2008 | | Autor: | side |
ich muss doch hier zeigen: Wenn [mm] W_1,...,W_r\subset [/mm] V mit [mm] \summe_i dimW_i=dimV, [/mm] dann
[mm] V=\oplus_i W_i \gdw W_i\cap(W_1+...+W_{i-1}+W_{i+1}+...+W_r)={0}
[/mm]
Oder?
was ist denn mit dem ausdruck in den klmmern (SUmme der UVR) überhaupt gemeint? Ich kann mir da garnichts drunter vorstellen. Sind dass einfgach alle Vektoren, die in den einzelnen UVR vorkommen zusammengenommen und ist der Teil (...)dann wieder ein UVR? Und es soll also bedeuten, dass der Nullvektor in allen UVR vorkommt, abgesehen davon aber die UVR disjunkt sind? Kann ich da über die Dimensionen der UVR arbeiten?
Ist nur so ne Idee, aber ich kann nicht viel damit anfangen.
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> ich muss doch hier zeigen: Wenn [mm]W_1,...,W_r\subset[/mm] V mit
> [mm]\summe_i dimW_i=dimV,[/mm] dann
> [mm]V=\oplus_i W_i \gdw W_i\cap(W_1+...+W_{i-1}+W_{i+1}+...+W_r)={0}[/mm]
>
> Oder?
Hallo,
ja.
> was ist denn mit dem ausdruck in den klmmern (SUmme der
> UVR) überhaupt gemeint?
Das solltest Du in Deiner Mitschrift/Skript finden.
U+W:={u+w| [mm] u\in [/mm] U und [mm] w\inW}, [/mm] für r bzr r-1 Räume entsprechend.
> Und es soll also bedeuten, dass
> der Nullvektor in allen UVR vorkommt,
Das ist bei Untervektorräumen natürgemäß der Fall.
> abgesehen davon aber
> die UVR disjunkt sind?
Das ist für "Summe" nicht gefordert, aber ein Folgerung aus "direkte Summe".
> Kann ich da über die Dimensionen der
> UVR arbeiten?
Da dies eine wesentliche Voraussetzung der Aufgabe ist, werden diese Dimensionen eine Rolle spielen.
Ein bißchen was findest Du noch in meiner Antwort an Damn88.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hallo, danke für deine Antwort!
okay, jetzt wo du es sagst, ist mir aufgefallen, dass ich unsere Definiton der direkten Summe von nur zwei Untervektorräumen einfach auf mehrere übertragen habe :>
Nur leider ist mir dann auch aufgefallen, dass wir für mehr als zwei UVR gar keine Definition für die direkte Summe haben!!
Das ist natürlich schlecht. Zumal habe ich jetzt im Internet folgende Definiton gefunden:
"Ist U = [mm] U_1+...+U_s [/mm] die Summe der Untrräume [mm] U_1,...,U_s [/mm] von V, so sind äquivalent:
(i) Aus [mm] u_1+...+u_s [/mm] = 0, [mm] u_i \in U_i, [/mm] folgt [mm] u_1=...=0
[/mm]
(ii)Jedes [mm] u\inU [/mm] lässt sich eindeutig schreiben als [mm] u=u_1+...+u_s [/mm] mit [mm] u_i \in U_i
[/mm]
(iii)Bezeichnet man mit [mm] W_i [/mm] die Summe der [mm] U_1,...,U_s, [/mm] bei der man [mm] U_i [/mm] weggelassen hat, so gilt [mm] U_i \cap W_i [/mm] ={0} für i=1,...,s
In diesem Fall nennt man U eine direkte Summe..."
Nur ist das ja leider genau das was ich zeigen soll.. von welcher Definiton kann ich denn dann ausgehen?
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> okay, jetzt wo du es sagst, ist mir aufgefallen, dass ich
> unsere Definiton der direkten Summe von nur zwei
> Untervektorräumen einfach auf mehrere übertragen habe :>
Hallo,
gut, daß Du gemerkt hast, woran es liegt.
> Nur leider ist mir dann auch aufgefallen, dass wir für
> mehr als zwei UVR gar keine Definition für die direkte
> Summe haben!!
Wenn das wirklich so ist, ist diese Aufgabe ja ziemlich blöde.
Dann mußt Du entweder nachfragen, oder beherzt allein die direkte Summe von mehreren Unterräumen definieren oder Dich auf die Literatur berufen.
Ich würde, wenn Du keine andere Order bekommst, das verwenden:
$ [mm] V=\oplus_iW_i [/mm] $
<==>
i) [mm] V=\summe_{i}^{}W_i [/mm] und
> (iii)Bezeichnet man mit [mm]W_i[/mm]
> die Summe der [mm]U_1,...,U_s,[/mm] bei der man [mm]U_i[/mm] weggelassen hat,
> so gilt [mm]U_i \cap W_i[/mm] ={0} für i=1,...,s
> Nur ist das ja leider genau das was ich zeigen soll..
Wieso leider? Man ist doch immer froh, wenn man nicht so viel zeigen muß...
Die Hinrichtung ==> ist damit in der Tat bereits fertig.
Für die Rückrichtung gibt's aber durchaus was zu zeigen:
Seien
$ [mm] W_1,...,W_r \subsetV [/mm] $ Untervektorräume mit $ [mm] \summe_{i}dimW_i=dimV, [/mm] für welche gilt: für alle i=1,...,r ist $ [mm] W_i\cap(W_1+...+W_{i-1}+W{i+1}+...+W_r)=\left\{0\right\} [/mm] $
==> $ [mm] V=\oplus_iW_i [/mm] $.
Du mußt dafür zeigen, daß unter den gemachten Voraussetzungen [mm] \summe_{i}^{}W_i [/mm] richtig ist.
Mit Induktion, denke ich mal.
> von
> welcher Definiton kann ich denn dann ausgehen?
s.o.
Gruß v. Angela
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