Direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Wie kann man sich die direkte Summe anschaulich erklären? |
Hi,
ich habe immer wieder Probleme mit der direkten Summe.
Ich verstehe nie so recht was die direkte Summe nun mit Untervektorräumen macht.
Kann man sich das irgendwie anschaulich erklären, was da passiert?
Könnte mir noch einmal jemand erläutern was die direkte Summe nun eigentlich macht?
Danke.
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Die direkte Summe ist ein Koprodukt von Vektorräumen. Das Koprodukt [mm] $X\sqcup [/mm] Y$ stellt man sich für gewöhnlich so vor, dass man zwei Objekte einfach "nebeneinanderklebt", ohne etwas wegzulassen, und ohne etwas dazuzutun. Dabei muss jedoch darauf geachtet werden, dass man wieder ein Objekt derselben Art erhält.
Beispiel Es seien $X,Y$ zwei Mengen. Legt man diese einfach nebeneinander, erhält man deren ![[]](/images/popup.gif) Disjunkte Vereinigung. Jede Abbildung [mm] $X\sqcup Y\xrightarrow{\ f\ }Z$ [/mm] ist bereits durch die Einschränkung [mm] $X\xrightarrow{f_1}Z$ [/mm] und [mm] $Y\xrightarrow{f_2}Z$ [/mm] bestimmt. Dies nennt man "Definition durch Fallunterscheidung": Es gilt
[mm] $fx=\begin{cases}f_1x&x\in X\\f_2x&x\in Y\end{cases}$.
[/mm]
Ähnlich ist es bei Vektorräumen. Bekanntlich ist ein Vektorraum $U$ bereits durch jede Basis bestimmt. Will ich zwei Vektorräume also nebeneinanderkleben, so mache ich das mit den Basen: Seien $U,V$ zwei Vektorräume, mit Basis $X$ bzw. $Y$. Dann ist [mm] $U\oplus [/mm] V$ der Vektorraum, welcher als Basis [mm] $X\sqcup [/mm] Y$ hat.
Das heißt, ich nehme mir die Basiselemente und bastle aus denen einen neuen Vektorraum. Dabei tue ich keine weiteren Elemente dazu. Allerdings achte ich darauf, dass Elemente verschiedener Räume im neuen Raum wieder verschieden sind - darum muss die Vereinigung disjunkt sein.
Die übliche Konstruktion Kann ich daraus die übliche Definition [mm] $U\oplus V=\{(u,v)\mid u\in U,v\in V\}$ [/mm] wiedergewinnen? Ja das kann ich:
Ein Element [mm] $x\in U\oplus [/mm] V$ lässt sich als [mm] $\sum_{i\in X\sqcup Y}x_i$ [/mm] eindeutig darstellen. Diese Summe ist gleich [mm] $\sum_{i\in X}x_i+\sum_{i\in Y}x_i$. [/mm] Der erste Summand ist ein Element von $U$, der zweite eines von $V$ und diese Darstellung ist eindeutig.
Direkte Summe als Koprodukt Außerdem handelt es sich tatsächlich um ein Koprodukt: Jede Lineare Abbildung [mm] $U\oplus V\xrightarrow{\ f\ } [/mm] W$ ist eindeutig durch die Einschränkungen [mm] $U\xrightarrow{f_1}W$ [/mm] und [mm] $V\xrightarrow{f_2}W$ [/mm] bestimmt, denn es muss wegen Homomorphie gelten:
[mm] $f\left(\sum_{i\in X\sqcup Y}x_i\right)=f\left(\sum_{i\in X}x_i\right)+f\left(\sum_{i\in Y}x_i\right)=f_1\left(\sum_{i\in X}x_i\right)+f_2\left(\sum_{i\in Y}x_i\right)$.
[/mm]
Folgerungen Es ergibt sich so zum Beispiel die Dimensionsformel [mm] $\dim(U\oplus V)=\dim(U)+\dim(V)$ [/mm] automatisch aus der Definition, da die Basis [mm] $X\sqcup [/mm] Y$ genau $|X|+|Y|$ Elemente enthält.
Dies führt auf das allgemeine Prinzip: Verstehst du zwei Objekte $X,Y$ so verstehst du auch deren Verklebung [mm] $X\sqcup [/mm] Y$. Umgekehrt ist es bei Produkten. Versteht man ein Produkt [mm] $X\times [/mm] Y$, so versteht man auch $X$ und $Y$.
Bildung von Koprodukten baut aus den vorhandenen Daten ein neues Objekt, Bildung von Produkten speichert Daten und macht sie kompatibel. Allgemeiner gilt dies für Kolimites und Limites.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Fr 11.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich habe meine Zweifel, dass der Fragesteller mit der Antwort meines Vorredners etwas anfangen kann.
Ist W ein Vektorraum und sind U und V Untervektorräume von W, so ist $U [mm] \cap [/mm] V$ wieder ein Untervektorraum von W.
Aber $U [mm] \cup [/mm] V$ ist im allgemeinen kein Untervektorraum von W. Daher betrachtet man die lineare Hülle $[U [mm] \cup [/mm] V]$ von $U [mm] \cup [/mm] V$ .
$[U [mm] \cup [/mm] V]$ ist ein Untervektorraum von W. Versuche mal zu zeigen, dass gilt:
$[U [mm] \cup [/mm] V]= [mm] \{u+v:u \in U, v \in V\}$.
[/mm]
Daher schreibt man statt $[U [mm] \cup [/mm] V]$ auch $U+V$ und nennt
$[U [mm] \cup [/mm] V]=U+V$ auch die Summe von U und V.
Ist $U [mm] \cap V=\{0\}$ [/mm] , so schreibt $U [mm] \oplus [/mm] V$ statt $U+V$ und nennt die Summe direkt.
FRED
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Erklärt das anschaulich, "was die direkte Summe soll"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Mit deiner Antwort konnte ich tatsächlich wenig anfangen.
Nichts für ungut.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Kann man also sagen, dass die direkte Summe die Basen der beiden Untervektorräume vereinigt und in der direkten Summe nun alles liegt, was von den Basen erzeugt werden kann?
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Genau das hab ich gemeint ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, dann ist das ja doch nicht so schwer.
Und man kann die direkte Summe eben nur betrachten, wenn der Schnitt der beiden Unterräume nur der Nullvektor ist. Okay, vielen Dank.
Gibt es sonst noch etwas, was man über die direkte Summe wissen könnte?
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> Gibt es sonst noch etwas, was man über die direkte Summe
> wissen könnte?
Hallo,
ja, bestimmt gibt es noch einiges, was man wissen könnte...
Wissen solltest Du alles, was in der VL über die direkte Summe von UVRen gesagt wurde. Insbesondere die Def. sollte Dir bekannt sein.
Gibt es noch irgendetwas Konkretes, was Du über die direkte Summe wissen möchtest?
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Fr 11.07.2014 | | Autor: | hippias |
Ich finde das ist wirklich nicht gut gesagt: Vereinige ich zwei Basen zweier Unterraeume und betrachte das Erzeugnis der Menge, so wuerde man nur dann von einer direkten Summe sprechen, denn die Vereinigung der Basen auch linear unabhaengig waere.
Man sollte auch zwischen innerer und aeusserer direkter Summe unterscheiden.
Bei der inneren direkten Summe geht es darum: Man hat z.B. zwei Unterraeume, die in einem grossen Raum liegen, in dem sich alles abspielt und fragt sich, ob deren Summe direkt ist. Dazu muss erst der Begriff der Summe von Unterraeumen erklaert werden. Dies hat FRED getan: Die Summe der Raeume ist die Menge aller Summen von Elementen der Teilraeume; diese Menge ist wiederum ein Teilraum.
Direkt wird diese Summe genannt, wenn diese Darstellung eindeutig ist.
Beispiel dazu: $U= [mm] \{(\lambda,\lambda,0)|\lambda\in \IR\}$, $W=\{(\lambda,\mu,0)|\lambda,\mu\in \IR\}$ [/mm] und $V:= [mm] \{(0,\lambda,\mu)|\lambda,\mu\in\IR\}$. [/mm] Die Summe von $U$ und $V$ ist direkt, die Summe von $W$ und $V$ ist es nicht, denn z.B. der Vektor $(1,2,1)$ laesst sich nicht eindeutig als Summe von Elementen aus $W$ und $V$ darstellen: $(1,2,1)= (1,0,0)+(0,2,1)= (1,2,0)+(0,0,1)$, wobei [mm] $(1,0,0),(1,2,0)\in [/mm] W$ und $(0,2,1), [mm] (0,0,1)\in [/mm] V$.
Beim aeusseren direkten Summe ist die Sachlage eine andere: man fuegt zwei Raeume, die nicht per se in einem gemeinsamen umfassenden Raum liegen, zu einem neuen Raum zusammen. Die auessere direkte Summe der Raeume $V$ und $W$ (s.o.) besteht aus allen Paaren $(v,w)$, wobei [mm] $v\in [/mm] V$ und [mm] $w\in [/mm] W$; z.B. ist $((1,1,0),(0,1,0))$ ein solches Paar. Betrachten man die Teilraeume $V':= [mm] \{(v,0)|v\in V\}$ [/mm] und $W':= [mm] \{(0,w)|w\in W\}$, [/mm] so bilden diese nun wiederum eine innere direkte Summe.
Weiterhin die innere Summe kommutativ, die aeussere aber i.a. nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Hmm, zwischen äußerer und innerer direkter Summe haben wir nie unterschieden...
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Es gibt noch eine andere Weise, über innere und äußere direkte Summe nachzudenken:
Sei $W$ ein Vektorraum, [mm] $U,V\le [/mm] W$ seien Unterräume. Es seien [mm] $U\xrightarrow{\ \ f_1\ \ }W$, $V\xrightarrow{\ \ f_2\ \ }W$ [/mm] die beiden Einbettungen. Außerdem sei [mm] $U\oplus [/mm] V$ die (äußere) direkte Summe mit den Einbettungen [mm] $i_1,i_2$. [/mm] Gemäß den Eigenschaften des Koproduktes oben gibt es eine eindeutige lineare Abbildung [mm] $U\oplus V\xrightarrow{\ \ f\ \ }W$, [/mm] welcher [mm] $fi_1=f_1$ [/mm] und [mm] $fi_2=f_2$ [/mm] erfüllt.
Das Bild dieses Homomorphismus bezeichnet man mit $U+V$ und nennt es die Summe der Unterräume. Man kann sich überlegen, dass $f$ gegeben ist durch [mm] $(u,v)\longmapsto [/mm] u+v$. Somit gilt [mm] $U+V=\operatorname{im}f=\{u+v\mid u\in U,v\in V\}$. [/mm] (Dieses vorgehen erspart also den Nachweis, dass es sich hierbei um einen Unterraum handelt.) Außerdem ist [mm] $\ker [/mm] f$ genau dann trivial, wenn [mm] $U\cap [/mm] V=0$ gilt. Somit ist $U+V$ genau dann kanonisch isomorph zur direkten Summe, wenn der Schnitt der Räume Null ist.
Dies ist meiner Meinung nach der richtige Blick auf das Konzept der inneren direkten Summe.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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