Diophantische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Do 29.05.2014 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | Eine Firma lässt Standard- und Kompaktbriefe für 86,41 Euro frankieren. Wegen eines Rabats beträgt das Porto für das Kompaktbrief 89cent und für den Standardbrief 54 Cent.
a. Stellen Sie die diophantische Gleichung auf, welches diesen Sachverhalt beschreibt.
b. Für wie viele Kompakt- und Standardbriefe hat die Firma Briefmarken gekauft? |
Guten Tag Leute.
Bei dieser Aufgabe komme ich auf keine gültige Lösung. Sehr ihr meinen Fehler?
a. 89x+54y=8641
b. ggT(89,54)=1
89=1*54+35
54=1*35+19
35=1*19+16
19=1*16+3
16=5*3+1
3=3*1+0
Euklidischer Algorithmus:
1=16-5*3
1=16-5(19-1*16)
1=16-5*19+5*16
1=-5*19+6*16
1=-5*19+6(35-1*19)
1=-5*19+6*35-6*19
1=6*35-11*19
1=6*35-11(54-1*35)
1=6*35-11*54+11*35
1=-11*54+17*35
1=-11*54+17(89-1*54)
1=89*17+54*(-28)
a=89, b=54, x=17, y=-28
Als nächstes würde ich die Gleichung auf das erwünsche Ergebnis, nämlich auf 8641 erweitern und daraus die allgemeine Lösung zu dieser Gleichung festlegen.
89*17+54*(-28)=1 |8641
89*146897+54*(-241948)=8641
x1=146897, y1=-241948
Nun die allgemeine Lösung:
[mm] (146897+\bruch{54*z}{1}), (-241948-\bruch{89*z}{1})
[/mm]
allgemeine Lösung:
(146897+54z),(-241948-89z)
Bis dahin habe ich keine Fragen und würde gerne wissen, ob mein Vorgehen in ordnung ist.
Gruß Serg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Do 29.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Eine Firma lässt Standard- und Kompaktbriefe für 86,41
> Euro frankieren. Wegen eines Rabats beträgt das Porto für
> das Kompaktbrief 89cent und für den Standardbrief 54
> Cent.
>
> a. Stellen Sie die diophantische Gleichung auf, welches
> diesen Sachverhalt beschreibt.
>
> b. Für wie viele Kompakt- und Standardbriefe hat die Firma
> Briefmarken gekauft?
> Guten Tag Leute.
>
> Bei dieser Aufgabe komme ich auf keine gültige Lösung.
> Sehr ihr meinen Fehler?
>
> a. 89x+54y=8641
>
> b. ggT(89,54)=1
>
> 89=1*54+35
> 54=1*35+19
> 35=1*19+16
> 19=1*16+3
> 16=5*3+1
> 3=3*1+0
>
>
> Euklidischer Algorithmus:
> 1=16-5*3
> 1=16-5(19-1*16)
> 1=16-5*19+5*16
> 1=-5*19+6*16
> 1=-5*19+6(35-1*19)
> 1=-5*19+6*35-6*19
> 1=6*35-11*19
> 1=6*35-11(54-1*35)
> 1=6*35-11*54+11*35
> 1=-11*54+17*35
> 1=-11*54+17(89-1*54)
> 1=89*17+54*(-28)
>
> a=89, b=54, x=17, y=-28
>
> Als nächstes würde ich die Gleichung auf das erwünsche
> Ergebnis, nämlich auf 8641 erweitern und daraus die
> allgemeine Lösung zu dieser Gleichung festlegen.
>
> 89*17+54*(-28)=1 |8641
> 89*146897+54*(-241948)=8641
>
> x1=146897, y1=-241948
>
>
>
> Nun die allgemeine Lösung:
>
> [mm](146897+\bruch{54*z}{1}), (-241948-\bruch{89*z}{1})[/mm]
>
> allgemeine Lösung:
> (146897+54z),(-241948-89z)
>
> Bis dahin habe ich keine Fragen und würde gerne wissen, ob
> mein Vorgehen in ordnung ist.
>
> Gruß Serg
Ich sehe keinen Fehler, halte das Vorgehen aber für zu umständlich.
Ich würde die Gleichung 89x+54y=8641 einfach mod 54 nehmen.
Es ergibt sich [mm]89x\equiv 8641\equiv 1\;mod 54[/mm].
Wegen [mm]89\equiv 35\equiv -19 mod \,54[/mm] vereinfacht sich das zu [mm]-19x\equiv 1\;mod 54[/mm]. Das geht nur, wenn x ungerade ist.
Somit hast du nach spätestens 27 Versuchen eine ungerade Zahl x gefunden, die diese Kongruenz erfüllt. Wenn du Verfahren zum Lösen dieser Kongruenz kennst, geht es ohne Probieren.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Do 29.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Moin. Danke für deine Antwort, allerdings kenne ich das Verfahren nicht. Dennoch wenn es keine Fehler vorhanden sind, setze ich im nächste Fred meine Rechnung fort.
Gruß Serg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Fr 30.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Nun möchte ich zwei Ungleichungen aufstellen und diese lösen.
146897+54z>0 und -241948-89z>0
54z>-146897 -89z>241948
z<-2720,..... z<-2718.......
einsetzen in:
(146897+57*(-2720)=17 (-241948-89*(-2718))=-46
Setze ich nun 17 als x und -46 als y in die Ausgangsgleichung, komme ich auf keine gültige Lösung.
Gruß Serg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Fr 30.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hattest doch
[mm] (146897+\bruch{54\cdot{}z}{1}), (-241948-\bruch{89\cdot{}z}{1}) [/mm]
also muss -241948-89*z>0 z<-2718 also z=-2719
dann hast du y= -241948-89*z=+43
und x=146897+54*(-2719)=71
damit ist deine erste Gl richtig gelöst
ein negativer Wert fr y macht doch bei dem Text keinen Sinn!
Gruß leduart
|
|
|
|
