Diophantische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | (a)
110x + 57y=ggT(a.b)
(b)
Ein Besucher der Eissporthalle kauft für sich und seine Familie Eintrittskarten im Wert von 61,50€. Ein Ticket für die Kinder kostet 5,70, und für Erwachsene 11€. Wie viele Kinder und Erwachsenen haben eine Eintrittskarte erhalten. |
ggT(110;57)= 1
110=1*57+53
57=1*53+4
53=13*4+1
4=4*1+0
1=53-13*4
1=53-13(57-1*53)
1=53-13*57+13*53
1=-13*57+14*53
1=-13*57+14(110-1*57)
1=-13*57+14*110-14*57
1=14*110-27*57
Lösung: (x=14, y=-27) Da der ggT(a,b) gleich dem Ergebnis der Gleichung ist, ist kein weiterer Schritt nötig.
(b)Da ich noch keine Anwendungsaufgaben dazu gerechnet habe, komme ich an dieser Stelle nicht weiter.
Ich weiß dass ich die Gleichung aus (a) gleich 61,50€ setzen muss.
Daher:
11x + 5,7y=61,5
nun stören mich als erstes die Komma. Darf man daraus 110x+57y=615 bilden? Natürlich muss man zum Schluss das Komma erneut einfügen.
Des Weiteren ist mit X und Y bereits bekannt. Das ggT(a,b) ist 1. Dem zufolge erweitere ich x und y auf 615 und erhalte die neuen x und y Werte, die mit um ein Komma nach links verschoben werden müssen.
Das wäre meine Überlegung aber.......leider scheint es nicht in ordnung zu sein. Wo liegt hierbei mein Fehler Jungs?
Gruß Serg
|
|
| |
|
Hallo Hybris,
> (a)
> 110x + 57y=ggT(a.b)
>
> (b)
> Ein Besucher der Eissporthalle kauft für sich und seine
> Familie Eintrittskarten im Wert von 61,50€. Ein Ticket
> für die Kinder kostet 5,70, und für Erwachsene 11€. Wie
> viele Kinder und Erwachsenen haben eine Eintrittskarte
> erhalten.
> ggT(110;57)= 1
>
> 110=1*57+53
>
> 57=1*53+4
>
> 53=13*4+1
>
> 4=4*1+0
>
>
> 1=53-13*4
> 1=53-13(57-1*53)
> 1=53-13*57+13*53
> 1=-13*57+14*53
> 1=-13*57+14(110-1*57)
> 1=-13*57+14*110-14*57
> 1=14*110-27*57
>
> Lösung: (x=14, y=-27) Da der ggT(a,b) gleich dem Ergebnis
> der Gleichung ist, ist kein weiterer Schritt nötig.
>
Die eine Lösung ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (b)Da ich noch keine Anwendungsaufgaben dazu gerechnet
> habe, komme ich an dieser Stelle nicht weiter.
>
> Ich weiß dass ich die Gleichung aus (a) gleich 61,50€
> setzen muss.
>
> Daher:
> 11x + 5,7y=61,5
> nun stören mich als erstes die Komma. Darf man daraus
> 110x+57y=615 bilden? Natürlich muss man zum Schluss das
> Komma erneut einfügen.
>
> Des Weiteren ist mit X und Y bereits bekannt. Das ggT(a,b)
> ist 1. Dem zufolge erweitere ich x und y auf 615 und
> erhalte die neuen x und y Werte, die mit um ein Komma nach
> links verschoben werden müssen.
>
> Das wäre meine Überlegung aber.......leider scheint es
> nicht in ordnung zu sein. Wo liegt hierbei mein Fehler
> Jungs?
>
Zunächst benötigst Du alle Lösungen dieser diophantischen Gleichung.
Dann ist diejenige Lösung auszuwählen für die x und y größer null sind.
> Gruß Serg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 So 25.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Wunderschönen guten Morgen!
Okay dann würde die allgemeine Lösung für diese diophantische Gleichung wie folgt lauten:
[mm] (x+\bruch{b*z}{ggT(a,b)}), (y-\bruch{a*z}{ggT(a,b)}) [/mm] mit [mm] z€\IZ
[/mm]
a=110
b=57
x= 14
y=-27
ggT(a.b)=1
Einsetzen:
[mm] (14+\bruch{57*z}{1}), (-27-\bruch{110*z}{1})
[/mm]
(14+57*z), (-27-110*z)
Wie geht man nun weiter mathematisch vor?
"Dann ist diejenige Lösung auszuwählen für die x und y größer null sind.
"
Ich weiß was gemeint ist, dennoch weiß ich nicht wie dieses Auswahlverfahren durchführe.
Gruß Serg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 So 25.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst doch die Lösung für 615 und nicht für 1, dann kannst du z (negativ so wählen dass x,y positiv sind.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 25.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Gibt es ein Verfahren wie man hier vorgeht? Oder funktioniert das wirklich nur mit raten? Aus eigener Kraft komme ich gerade nicht weiter :(
Gruß Serg
|
|
|
| |
|
Hallo Hybris,
> Gibt es ein Verfahren wie man hier vorgeht? Oder
> funktioniert das wirklich nur mit raten? Aus eigener Kraft
> komme ich gerade nicht weiter :(
>
Zunächst ist die gefundene Lösung auf 615 anzupassen.
D.h. die gefundenen Lösungen für x und y mit 615 sind zu multiplizieren.
Danach ist die Lösungsgesamtheit zu ermitteln.
Aus dieser Lösungsgeamtheit gilt es die positiven Lösungen zu finden.
Denn es gibt ja keine negativen Erwachsenene bzw. negativen Kinder.
> Gruß Serg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Di 27.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Dies ist auch meine Überlegung gewesen.
a=110, b=57, x=14 und y=27
110x+57y=1 | erweitern auf 615
110*8610+57*(-16605)=615
Allgemeine Lösung der Gleichung:
---> [mm] x_{1}= [/mm] 8610; [mm] y_{1}=-16605
[/mm]
((8610+57z),(-16605-110z)) mit z € [mm] \IZ
[/mm]
Nun das schwierigste, wie komme ich denn nun zurück zu meiner Fragestellung? Anders gefragt, wie komme ich nun auf die gesuchten x und y?
Gruß Serg
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Dies ist auch meine Überlegung gewesen.
>
> a=110, b=57, x=14 und y=27
>
> 110x+57y=1 | erweitern auf 615
>
> 110*8610+57*(-16605)=615
>
>
>
> Allgemeine Lösung der Gleichung:
>
> ---> [mm]x_{1}=[/mm] 8610; [mm]y_{1}=-16605[/mm]
>
> ((8610+57z),(-16605-110z)) mit z € [mm]\IZ[/mm]
>
> Nun das schwierigste, wie komme ich denn nun zurück zu
> meiner Fragestellung? Anders gefragt, wie komme ich nun auf
> die gesuchten x und y?
Finde alle z, so dass 8610+57z>0 und -16605-110z>0.
> Gruß Serg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Di 27.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Danke für deine rasche Antwort. Genau zu diesem Finden habe ich eine Frage, gibt es da ein Verfahren oder setzt man da wirklich testweise die Werte für z ein und sucht solange, bis es >0 ergibt?
Gruß Serg
|
|
|
| |
|
Einsetzen ist hier keine gute Idee. Es gibt unendlich viele Möglichkeiten.
Ungleichungen lösen, wie in der Schule hoffentlich gelernt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Di 27.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Natürlich gelernt aber bereits vergessen. Schaue ich mir natürlich nochmal an.
Mit ausprobieren sofort hinbekommen :) Danke für den Tipp! Versuche es gleich mit der Ungleichung.
Durchs Ausprobieren komme ich auf z=-151
Eingesetzt gilt:
8610+57*(-151)=3
-16605-110*(-151)=5
Überprüfung:
110*3+57*5=615
Antwortsatz: 3 Erfachsenen und 5 Kinder haben die Eishalle betreten.
Vielen Dank Leute. Langsam läufts :)
|
|
|
| |
|
> Natürlich gelernt aber bereits vergessen. Schaue ich mir
> natürlich nochmal an.
>
> Mit ausprobieren sofort hinbekommen :) Danke für den Tipp!
> Versuche es gleich mit der Ungleichung.
>
> Durchs Ausprobieren komme ich auf z=-151
>
> Eingesetzt gilt:
>
> 8610+57*(-151)=3
> -16605-110*(-151)=5
>
> Überprüfung:
> 110*3+57*5=615
>
> Antwortsatz: 3 Erfachsenen und 5 Kinder haben die Eishalle
> betreten.
Und wie zeigst du, dass das die einzige Lösung ist?
Ist es überhaupt die einzige Lösung?
> Vielen Dank Leute. Langsam läufts :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Di 27.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Das...........................ist eine sehr gute Frage :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Di 27.05.2014 | | Autor: | Hybris |
Jetzt erinnere ich mich wieder :)
Ja, für den Bereich der Natürlichen Zahlen ist es die einzige Lösung. Als Begründung setze ich die Lösung aller Möglichen Lösungen fest:
8610 +57z>0 und -16605-110z>0
57z>-8610 -110z>+16605
z>-151,052 z<-150,96
Dem Zufolge sind alle möglichen Lösungen für Z größer wie -151,052 und kleiner wie -150,96.
Gruß Serg
|
|
|
|
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
