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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier ein paar Folgerungen aus dem Dimensionsatz.
Laut Vorlesung sollen sie sehr einfach sein... ich sehe da leider gar nix...
Also der Dimensionsatz ist ja $dim(Kern(f))+dim(Im(f))=dim(V)$ für $f:V [mm] \to [/mm] V'$ linear.
Ich habe folgende Folgerungen:
1) Wenn $f:V [mm] \to [/mm] V'$ Isomorphismus, dann $dim(V)=dim(V')$
2) Wenn $f:V [mm] \to [/mm] V'$ Monomorphismus, also nur injektiv, dann [mm] $dim(V)=dim(Im(f)\le [/mm] dim(V')$
3) Wenn $f:V [mm] \to [/mm] V'$ Epimorphismus, also nur surjektiv, dann [mm] $dim(V)\ge [/mm] dim(V')$
Also ich kann alle drei Folgerungen nicht aus dem Dimensionssatz ableiten.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich auf die Folgerungen komme?
LG, Nadine
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> Hallo zusammen!
Hallo Nadine!
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> Ich habe hier ein paar Folgerungen aus dem Dimensionsatz.
> Laut Vorlesung sollen sie sehr einfach sein... ich sehe da
> leider gar nix...
>
> Also der Dimensionsatz ist ja
> [mm]dim(Kern(f))+dim(Im(f))=dim(V)[/mm] für [mm]f:V \to V'[/mm] linear.
>
> Ich habe folgende Folgerungen:
>
> 1) Wenn [mm]f:V \to V'[/mm] Isomorphismus, dann [mm]dim(V)=dim(V')[/mm]
Da die Abbildung bijektiv ist muss V und V' gleichviele Elemente enthalten.
>
> 2) Wenn [mm]f:V \to V'[/mm] Monomorphismus, also nur injektiv, dann
> [mm]dim(V)=dim(Im(f)\le dim(V')[/mm]
Die erste Gleichheit folgt aus dem Dim-Satz. Und f injektiv [mm] \gdw Kern=\{0\} [/mm] und damit hat dieser die Dimension Null. Die Ungleichung kommt wegen [mm] $Im(f)\subset [/mm] V'$.
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> 3) Wenn [mm]f:V \to V'[/mm] Epimorphismus, also nur surjektiv, dann
> [mm]dim(V)\ge dim(V')[/mm]
Jedes Element aus V' hat ein Urbild in V, da aber auch gleiche Bildwerte verschiedene Urbildelemente haben können gilt hier [mm] "\ge".
[/mm]
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> Also ich kann alle drei Folgerungen nicht aus dem
> Dimensionssatz ableiten.
Ich denke auch nicht, dass man sie direkt aus dem Dim-Satz ableiten kann. Es ist ehr eine Anwendung der Begriffe inj,surj&bij.
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> Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich auf
> die Folgerungen komme?
>
> LG, Nadine
Viele Grüße
Patrick
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