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Dimensionsabschätzung: korrektur

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	20:25 Di 08.01.2008
Autor:	hundert

Aufgabe

 Seine [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] endlich erzeugte Unterräume des K-Vektorraums V mit [mm] U_1 +U_2 [/mm] =V. Zeigen sie:   dim V [mm] \le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] 

hallo,...

ein tipp zur lösung dieser aufgabe meines tutors lautet, dass man  die basen  von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] nehmen soll. ich konnt aber leider mit dem tipp nicht wirklich was anfangen,. also hab ich mir folgende lösung überlegt:

da [mm] V=U_1+U_2 [/mm]  folgt:
dim [mm] (U_1+U_2)\le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm]
= dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] (U_1 \setminus U_2) \le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm]
= dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] (U_2 \setminus U_1\cap U_2) \le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm]
= dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] - dim [mm] (U_1\cap U_2)\le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm]

daraus folgt: wenn [mm] U_1\cap U_2 [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] dann
dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] = dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm]

wenn  [mm] U_1\cap U_2 \ne \emptyset [/mm] dann

dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] - dim [mm] (U_1\cap U_2)\le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm]
- dim [mm] (U_1\cap U_2) \le [/mm] 0    wahre aussage   darsu folgt:
dim [mm] (U_1+U_2)\le [/mm] dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm]

daraus folgt behauptung

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Dimensionsabschätzung: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	23:20 Di 08.01.2008
Autor:	angela.h.b.

> Seine [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] endlich erzeugte Unterräume des
> K-Vektorraums V mit [mm]U_1 +U_2[/mm] =V. Zeigen sie:   dim V [mm]\le[/mm]
> dim [mm]U_1[/mm] + dim [mm]U_2[/mm]
>  hallo,...
>
> ein tipp zur lösung dieser aufgabe meines tutors lautet,
> dass man  die basen  von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] nehmen soll.

Hallo,

der Tip Deines Tutors ist gut und führt zur Lösung.

Zu Deinem Lösungsansatz:

Die Gleichheitszeichen am Zeilenanfang sollen Folgepfeile sein, oder was?
Das muß klar ersichtlich sein.

Du machst im Beweis gleich am Anfang einen Fehler,

Du schreibst

> [mm] dim(U_1 \setminus U_2) [/mm]

Abgesehen davon, daß Du an der Stelle eher [mm] U_2 [/mm] \ [mm] U_1 [/mm] meintest:

Es ist doch [mm] U_1 \setminus U_2 [/mm] gar kein Vektorraum! Also hat die Menge keine Basis, also keine Dimension.

Arbeite nicht mit den kompletten Unterräumen, sondern mit deren Basen.

[mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] haben beide eine Basis.

V ist die Menge, die v. [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] erzeugt wird.

Denk an Basisergänzung.

Gruß v. Angela