Dimension von Kern und Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 So 23.11.2008 | | Autor: | Newbie89 |
| Aufgabe | | Die reelle 3x4 Matrix A:= [mm] \pmat{ -1 & -5 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & -5 & 3 & -2 } [/mm] kann als lineare Abbildung von [mm] \IR^4 [/mm] nach [mm] \IR^3 [/mm] aufgefasst werden. Bestimme die Dimension des Kernes und der Basis! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Abend,
ich bin ziemlich unsicher, was die Aufgabenstellung anbetrifft. Ich habe folgendes Lösungsschema benutzt:
1. A auf ZSF
Das ergab A:= [mm] \pmat{ -1 & -5 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]
Da ja gilt: dim {Bild(A)} = Rang(A). Da die letzte Zeile eine Nullzeile ist, hat die Abbildung den Rang und ist dementsprechend ein Bild mit der Dimension 2, richtig?
Danach habe ich die Lösungsmenge mit dem GaussAlg bestimmt und komme auf Basisvektoren
[mm] \vec{x} [/mm] = s [mm] \* \vektor{-5 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + r [mm] \* \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] .
Und die Anzahl der Basisvektoren die A aufspannen, entsprechen doch der Dimension des Kernes. In diesem Fall also 2, korrekt?
Und später kommt die Frage ob die Vektoren [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] im Kern liegen. Aber der Basisvektor ist doch [mm] \IR^4 [/mm] und die gerade genannten Vektoren sind doch [mm] \IR^3 [/mm] und das kann doch gar nicht gehen?!
Was habe ich hier bloß falsch gemacht?
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Hallo Fabian,
> Die reelle 3x4 Matrix A:= [mm]\pmat{ -1 & -5 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & -5 & 3 & -2 }[/mm]
> kann als lineare Abbildung von [mm]\IR^4[/mm] nach [mm]\IR^3[/mm] aufgefasst
> werden. Bestimme die Dimension des Kernes und der eine Basis!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Guten Abend,
>
> ich bin ziemlich unsicher, was die Aufgabenstellung
> anbetrifft. Ich habe folgendes Lösungsschema benutzt:
> 1. A auf ZSF
>
> Das ergab A:= [mm]\pmat{ -1 & -5 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da ja gilt: dim {Bild(A)} = Rang(A). Da die letzte Zeile
> eine Nullzeile ist, hat die Abbildung Matrix den Rang [mm] \red{2} [/mm] und ist dementsprechend Bild(A) hat Dimension 2, richtig?
>
> Danach habe ich die Lösungsmenge mit dem GaussAlg bestimmt
> und komme auf Basisvektoren
> [mm]\vec{x}[/mm] = s [mm]\* \vektor{-5 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + r [mm]\* \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> .
>
> Und die Anzahl der Basisvektoren die A aufspannen,
die was aufspannen? Du meinst den Kern(A) aufspannen!
Die beiden Vektoren oben sind eine Basis des Kerns!
> entsprechen doch der Dimension des Kernes. In diesem Fall
> also 2, korrekt?
Ja, das muss ja auch aus Dimensionsgründen so sein, nach dem Dimensionssatz für lineare Abbildungen ist [mm] $dim(Urbildraum)=dim(\IR^4)=4=dim(Kern(A))+\underbrace{dim(Bild(A))}_{=2}$
[/mm]
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> Und später kommt die Frage ob die Vektoren [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }[/mm] im Kern liegen. Aber der
> Basisvektor ist doch [mm]\IR^4[/mm] und die gerade genannten
> Vektoren sind doch [mm]\IR^3[/mm] und das kann doch gar nicht
> gehen?!
genau, der Kern ist ein Unterraum des Urbildraumes, also des [mm] $\IR^4$, [/mm] da sind ausschließlich Vektoren mit 4 Komponenten drin 
Die Vektoren [mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{1 \\ 1 \\ 0 }$ [/mm] sind allenfalls im Bild(A), das ja ein Unterraum des Zielraumes, also des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist
Das könntest du mal nachprüfen, aber im Kern sind sie definitiv nicht!
>
> Was habe ich hier bloß falsch gemacht?
Nichts, so weit ich das sehe ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Newbie89 |
Vielen Dank, Schachuzipus. Jetzt bewege ich mich schon mit etwas sicheren Beinen durch die lineare Algebra =)!
Bezüglich des Bildes von der Matrix. Ich habe schon erkannt, dass die Vektoren, die zum Bild(A) gehören, 3 Komponenten haben müssen.
Zu [mm] \IR^3 [/mm] kann man aber ja nicht sagen: "drei-dimensionaler Raum des Bildes(A)". Das Bild hat ja nur die Dimension von 2 und ist ja keinesfalls mit [mm] \IR^2 [/mm] bzw. [mm] \IR^3 [/mm] zu verwechseln, oder? Ich hoffe, Du/Ihr versteht meine Frage?
Man kann doch auch die Basis(A) direkt aus dem NZSF bestimmen, in dem man die Kopfvariablen bestimmt und dann seien die jeweiligen Spaltenvektoren, die eine Kopfvariable besitzen, ein Basisvektor von Bild(A) sein, korrekt oder nur dummes Geschwätz?
Es gilt doch, dass der Rang (A) gleich der Anzahl der Kopfvariablen der Matrix A ist?
Die obige Matrix hat also Rang 2 und dementsprechend 2 Kopfvariablen. Welche Spaltenvektoren könnte ich dann benutzen, um daraus eine Basis von A bilden? Etwa [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] ? Die Spaltenvektoren müssen ja wiederum linear unabhängig voneinander sein?!
Puuh, viele Fragen, aber ein Schritt vorwärts geht noch =)!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Mo 24.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Wort Kopfvariable kenn ich nicht. aber mit dem Rest hast du recht, alle 4 Spaltenvektoren liegen im bild, also kannst du 2 lin unabhaengige davon als basis des Bildes Aussuchen die erst und dritte spalte ist ok.
Die Bilder liegen im [mm] \IR^3 [/mm] sind aber ein 2d Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm]
Da ich das Wort Kopfvariable nicht verstehe kann ich auf die letzte Frage nicht antwortem. Dim Bild = Rang A ist richtig und Rang A= Maximalzahl der unabhaengigen Zeilenvektoren oder der unabh. Spaltenvektoren.
Gruss leduart
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