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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Dimension eines Vektorraums
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Dimension eines Vektorraums: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Do 07.04.2005
Autor: franny

Hallo,

Ich habe hier einen Vektorraum, der die Lösung eines LGS ist. Ich soll ein Orthonormalisierungsverfahren durchführen. Soweit ist mir ja auch schon alles klar, aber jetzt kommt eine ganz doofe Frage:

Wie finde ich heraus welche Dimension der Vektorraum hat?

V sieht folgendermaßen aus:
V = [mm] {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in \IR^{4} | x_{1}-2x_{2}+x_{3}-x_{4}=0} [/mm]

Es wäre sehr nett, wenn jemand einen kleinen Hinweis in die richtige Richtung für mich hätte.

Danke.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Dimension eines Vektorraums: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:03 Do 07.04.2005
Autor: Julius

Hallo!

Naja, $V$ ist der Kern der linearen Abbildung:

$f [mm] \, [/mm] : [mm] \, \begin{array}{ccc} \IR^4 & \to & \IR\\[5pt] (x_1,x_2,x_3,x_4) & \mapsto & x_1-2x_2 + x_3 - x_4\end{array}$. [/mm]

Nach dem Dimensionssatz für lineare Abbildungen gilt:

$4 = [mm] \dim(Kern(f)) [/mm] + [mm] \dim(Bild(f))$. [/mm]

Nun gilt: [mm] $\dim(Bild(f)) \le \dim(\IR) [/mm] = 1$, aber [mm] $\dim(Bild(f)) \ne [/mm] 0$, da $f$ nicht die Nullabbildung ist. Demnach bleibt nur [mm] $\dim(Bild(f))=1$ [/mm] übrig.

Wir erhalten also:

[mm] $\dim(V) [/mm] = [mm] \dim(Kern(f)) [/mm] = 4-1 = 3$.

Eine Basis lässt sich auch leicht angeben. Schaffst du das alleine? :-)

Wenn nein, dann melde dich bitte wieder. Oder teile uns einen Lösungsvorschlag mit. [sunny]

Liebe Grüße
Julius
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Bezug
Dimension eines Vektorraums: Danke und nächste Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:23 Do 07.04.2005
Autor: franny

Hallo,

Vielen lieben Dank für die schnelle Hilfe! Manchmal scheitert es an solchen Kleinigkeiten ;o)

Ich habe mir 3 Vektoren gewählt und das Orthonormierungsverfahren durchgeführt.

Jetzt muß ich noch zeigen, dass die 3 Vektoren eine orthonormale Basis sind. Lin. unabhängig sind sie, aber:

Wie zeige ich, dass sie den gesamten Vektorraum aufspannen?

franny

P.S.: Euer Forum ist genial! Ich hoffe auf den Tag, an dem ich auch mal eine Frage beantworten kann ;o)
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Bezug
Dimension eines Vektorraums: Vk
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Fr 08.04.2005
Autor: Hexe

Wenn der Vektorraum dreidimensional ist, dann spannen sie ihn als 3 lin. unabh. Vektoren automatisch auf, denn jerder 4. muss zwangsläufig lin abh von ihnen sein.  
Ansonsten vergiss nicht die Normalität deiner Vektoren zu zeigen
Viele Grüße
Hexe
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