Dimension des Hauptraums < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die Dimension des Kerns von [mm] (A-\lambda*E)^r [/mm] ist größer oder gleich der algebraischen Vielfachheit des jeweiligen Eigenwerts [mm] \lambda. [/mm] |
Hallo, habe obiges in meinem Mathematikbuch (Gerd Fischer - Lineare Algebra) gelesen mit der Bemerkung, der Sachverhalt sei trivial. Mir fehlt allerdings die entscheidende Einsicht.^^
Wie kommt man also darauf?
Viele Grüße,
Christof
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:43 Di 10.08.2010 | | Autor: | Peter_Pan2 |
Sorry, ich meinte nicht gleich der algebraischen Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] sondern dim [mm] (Kern(A-\lambda*E)^r) [/mm] > dim [mm] (Kern(A-\lambda*E))
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Di 10.08.2010 | | Autor: | wieschoo |
> dim $ [mm] (Kern(A-\lambda\cdot{}E)^r) [/mm] $ > dim $ [mm] (Kern(A-\lambda\cdot{}E)) [/mm] $
[mm] $A-\lambda\cdot [/mm] E$ sei die Matrix der linearen Abbildung g (g ist Endomophismus).
Heißt ja nichts anderes als $Ker(g) [mm] \subseteq Ker(g^2) \subseteq Ker(g^3) \ldots$
[/mm]
Und das sieht man so. Sei [mm] $v\in [/mm] Ker(g)$ also g(v)=0, so ist [mm] $g^2(v)=g(g(v))=g(0)=0$, [/mm] d.h. [mm] $v\in Ker(g^2)$. [/mm] Analog [mm] $\subseteq Ker(g^2) \subseteq Ker(g^3) \ldots$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Okay, soweit klar, aber das sagt ja nur dass die Dimension des Kerns des Hauptraums mindestens gleich der des Kerns des Eigenraums sein muss. Woran kann man erkennen, dass die Dimension des Kerns des Hauptraums größer ist als die des Kerns des Eigenraums?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> -
> Okay, soweit klar, aber das sagt ja nur dass die Dimension
> des Kerns des Hauptraums mindestens gleich der des Kerns
> des Eigenraums sein muss. Woran kann man erkennen, dass die
> Dimension des Kerns des Hauptraums größer ist als die des
> Kerns des Eigenraums?
Das muss gar nicht der Fall sein.
Wenn du die Matrix [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2} [/mm] nimmst mit Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = 1, so stimmen Hauptraum- und Eigenraumdimension überein. Du hast uns also irgendwelche Voraussetzungen verschwiegen 
Selbst dann finde ich die Behauptung (wenn ohne Zusammenhang dargestellt) nicht trivial.
Gut wäre auch, wenn du mal die Seite im Fischer sagen könntest, ich finde nämlich die behauptete Ungleichung nirgends.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
okay klar gibt es matrizen bei denen die dimension der eigenräume zu den jeweiligen eigenwerten schon ihrer algebraischen vielfachheit entspricht (dann diagonalisierbar soweit ich weiß).
Die besagte Stelle im Fischer ist auf Seite 259, Kapitel 4.6 (Jordansche Normalform). Dort Steht im genauen Wortlaut:
"4.6.1. Im folgenden sei K ein beliebiger Körper und V ein K-Vektorraum mit dim V [mm] \ge [/mm] 1. Ist F [mm] \in [/mm] End(V) und Pf [mm] =+/-(t-\lambda)^r+...+(t-\mu)^k [/mm] sein charakteristisches Polynom mit [mm] \lambda,...,\mu \in [/mm] K paarweise verschieden, so ist V nach 4.3.3 genau dann direkte Summe der F-invarianten Eigenräume [mm] Eig(F,\lambda), [/mm] wenn dim [mm] Eig(F,\lambda) [/mm] = r etc."
Bis hierhin versteh ich es ja, weil es ja nur um Diagonalisierbarkeit geht.
Weiter:
"Ist die Dimension des Eigenraums zu klein, so kann man ihn mit folgendem Trick passend vergrößern. Für einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] der (algebraischen) Vielfachheit r [mm] \ge [/mm] 1 ist [mm] Eig(F,\lambda) [/mm] = Ker [mm] (F-\lambda*E) \subset [/mm] Ker [mm] (F-\lambda*E)^r [/mm] =: [mm] Hau(f,\lambda). [/mm]
Man nennt [mm] Hau(F,\lambda) [/mm] den Hauptraum zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Damit kann man schon das Ergebnis der ersten Etappe formulieren:
Satz über die Hauptraumzerlegung.
Sei F [mm] \in [/mm] End(V) und Pf = [mm] +/-(t-\lambda)^r+...+(t-\mu)^k [/mm] sein charakteristisches Polynom mit [mm] \lambda,...,\mu \in [/mm] K paarweise verschieden. Es sei Vi = [mm] Hau(F,\lambda) \subset [/mm] V der Hauptraum zu jedem Eigenwert. Dann gilt:
1.) F(Vi) [mm] \subset [/mm] V und dim Vi = algebraische Vielfachheit jedes Eigenwerts.
2.) F hat eine Zerlegung F=Fd+Fn mit Fd diagonalisierbar und Fn nilpotent."
Das ist aber genau der Knackpunkt wo es bei mir hapert. Woraus folgen die beiden rot markierten Dinge?
Viele Grüße, Christof
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 12.08.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
> Sachverhalt sei trivial.
Das folgt direkt aus dem Satz der Hauptraumzerlegung:
Sei [mm] $f\in [/mm] End(V)$, dessen charakteristisches Polynom [mm] $\chi_F(x) [/mm] = [mm] \prod_{j=1}^k(x-\lambda_j)^{r_j}$ [/mm] paarweise verschiedene Nullstellen [mm] \lambda_j [/mm] hat, dann folgt unter anderem das die algebraische Vielfachheit der Nullstellen der Dimension der Haupträume entspricht.
Dimension Haupträume = Dimension des Kerns von $ [mm] (A-\lambda\cdot{}E)^r [/mm] $ nach Definition
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Di 10.08.2010 | | Autor: | Peter_Pan2 |
Aber der Sachverhalt wird schon vorausgesetzt bevor der Satz über die Hauptraumzerlegung eingeführt wird.
Kann man das also auch anders begründen?
MfG
|
|
|
|
