Dimension des Faktorraums < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Do 23.02.2012 | | Autor: | JohnB |
Der Faktorraum (von V nach U) ist so definiert:
$ [mm] V/U:=\{ [v] \mid v\in V \} [/mm] $
Es ist nun die Menge der Äquivalenzklassen, v ein Element/Vertreter dieser Äquivalenzklasse.
Nun stellt sich mir die Frage nach der Dimension des Faktorraums.
Ich würde sagen, dass die Dimension gegeben ist durch die Dimension vom Unterraum U, dem v angehört.
Aber das würde sich mit folgender Gleichung widersprechen:
$ dim U + dim V / U = dim V $
wonach dim U und dim V/U jeweils gleich der Hälfte von dim V wäre, was ja nicht immer ist.
Wie ist denn die Dimension des Faktorraums V/U gegeben?
|
|
| |
|
Die Dimension ist genauso, wie du es geschrieben hast:
> $ dim U + dim V / U = dim V $
Also $dim V / U = dim V - dim U$
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 23.02.2012 | | Autor: | JohnB |
Es ging mir um die Erklärung!
Wie ich es schon geschrieben habe, dachte ich, dass die Dimension des Faktorraumd von V nach U gleich dim U ist, was ja offensichtlich laut der Gleichung nicht der Fall ist. Wieso ist sie anders, wo liegt der Denkfehler?
Grüße
|
|
|
| |
|
Nun, weißt du, was genau ein Faktorraum ist?
Nehmen wir uns mal einen Körper $K$, einen $K-$Vektorraum $V$ und einen Unterraum $U$.
Dann eine Basis [mm] $u_1,\ldots, u_k$ [/mm] von $U$ und eine Basis [mm] $v_1, \ldots, v_n$ [/mm] von $V$, sodass [mm] $v_i [/mm] = [mm] u_i$ [/mm] für alle $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] k$ (also eine Basis von $U$ zu einer von $V$ ergänzen).
Sind nun $x$ und $y$ zwei Vektoren (oder Restklassen) aus $V/U$, so sind diese genau dann gleich, wenn ihre Differenz in $U$ liegt.
Da wir uns für gleiche ja nicht interessieren, müssen wir die Vektoren betrachten, deren Differenz nicht in $U$ liegt.
Das heißt also "außerhalb" von $U$, das bedeutet in den Basiselementen [mm] $v_{k+1},\ldots [/mm] , [mm] v_n$, [/mm] müssen sich die beiden unterscheiden.
Um dies leichter zu machen wählen wir für jede Restklasse den Vertreter, bei dem alle Vektoren aus $U$ auf Null gesetzt werden.
Also definiere:
$W = [mm] \{ \sum_{i=k+1}^n a_iv_i | a_i \in K \}$.
[/mm]
Dies ist der Vektorraum aller Vektoren aus $V$, bei dem die ersten $k$ Komponenten, also gerade jene, die $U$ erzeugen, auf Null gesetzt werden.
Dies sind nun freundlicherweise aber gerade jene Vektoren, die ein Vertretersystem für die Restklassen in $V/U$ bilden, also ist $V/U$ isomorph zu $W$ (dass $W$ ein Unterraum von $V$ ist darfst du gerne nachrechnen wenn du möchtest).
Damit ist aber auch die Dimension von $V/U$ die gleiche wie die von $W$, die sich aufgrund der besonderen Struktur gerade als $n-k$ ergibt (denn die [mm] $v_{k+1},\ldots [/mm] , [mm] \v_n$ [/mm] bilden eine Basis von $W$).
lg
Schadow
|
|
|
|
