Dimension der Eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A:= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 4 & 9 \\ 2 & 2 & 7 & 8 \\ 0& 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 5 }
[/mm]
Ist A diagonalisierbar?
Ist A invertierbar?
Geben Sie die Dimension der Eigenräume von A an |
Hallo ihr Lieben!
Wie prüfe ich nochmal, ob eine Matrix diagonalisierbar ist? Ich verstehe die Formlen irgendwie nicht.
Um zu prüfen, ob eine Matrix invertierbar ist, muss man ja eigentlich nur zeigen, dass A*A^-1 =A^-1*A [mm] =I_{n} [/mm] ist, oder?
Zu der Dimension: Wenn ich die Eigenwerte berechnet habe, muss ich dann zuerst die Eigenvektoren berechnen? Die Eigenvektoren spannen ja den Egenraum auf, heißt das dann, wenn ich 2 Eigenwertehabe, dass diese meinen Eigenraum aufspannen? Wenn diese lin. unabh. sind, müsste die Dimension des Ers ja 2 sein, oder nicht??
Sorry, Fragen über Fragen ;o)
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Hallo Monsterzicke!
Also zur Invertierbarkeit. Es gilt, wie du richtig gesagt hast: [mm] A^{-1}*A=E_{n}, [/mm] wobei [mm] E_{n} [/mm] die Einheitsmatrix ist.
In deiner Aufgabe steht, dass du nur prüfen sollst, ob sie invertierbar ist, d.h. es reicht, wenn du die Determinante berechnest. Ist [mm] det(A)\not=0, [/mm] dann ist A invertierbar. Es gäbe noch andere Möglichkeiten. Du könntest schauen, ob du A in Zeilen-Stufen-Form ohne Nullzeile bringen kannst (das wäre hier wahrscheinlich der kürzeste Weg). Gibt es keine Nullzeile, so ist A invertierbar.
Zur Diagonalisierbarkeit: Du musst zuerst die Eigenwerte berechnen (Ich nehme an, das habt ihr schon gelernt.) Wenn das char. Polynom zweimal die gleiche Nullstelle aufweist dann musst die Dimension des Eigenraumes betrachten.
D.h. Du berechnest den Eigenvektor zum diesbezüglichen Eigenwert (kannst du das?). Und dann schaust du dir das Erzeugungssystem von diesem Eigenvektor an. Welche Dimension hat er?
Allgemein gilt dann: Falls die Multiplizität einer Nullstelle (des char. Polynom) genauso gross ist wie die Dimension des Eigenraumes (= Erzeugungssystem des Eigenvektors), dann ist A diagon.
Hilft dir das weiter? So würde die Theorie lauten...
MfG
GorkyPArk
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Ja, danke! Hilft mir weiter, aber was genau heißt "Multiziplität"?
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Hallo Monsterzicke,
mit Multiplizität ist die Vielfachheit gemeint, mit der die Nullstelle des charakt. Polynoms auftritt, das wird auch "algebraische Vielfachheit" genannt.
zB. erhältst du das charakt. Polynom [mm] cp(X)=(X-1)(X-3)^3(X+5)
[/mm]
Das bedeutet, die algebraische Vielfachheit oder Multiplizität oben genannt des Eigenwertes 1 ist 3, die des Eigenwertes 3 ist 3 und die des Eigenwertes -5 ist wieder 1
Gruß
schachuzipus
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