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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mi 19.10.2011 | | Autor: | M4T7 |
| Aufgabe | Exercice 2.)
Sei V ein komplexer Vektorraum endlicher Dimension.
a) Zeigen Sie, dass V ein reeller Vektorraum ist mit
dimV über [mm] \IR [/mm] = 2 dimV über [mm] \IC
[/mm]
b) Sei [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] eine Basis von V über [mm] \IC. [/mm] Geben Sie eine Basis von V über [mm] \IR [/mm] an. |
Bin seit einem Monat Mathestudent und Lineare Algebra macht mir am meisten zu schaffen.
Die Begriffe Vektorraum, Basis, Dimension, span(...), Linearkombination und linear abhängig/unabhängig sind mir klar.
Für beide Teilaufgaben habe ich keinen Schimmer, wo ich anfangen soll, und wäre froh, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
Du kannst [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] ausdrücken.
Welche Dimension hätte dieser?
Versuch eine Basis von [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] zu finden und benutze diese, um aus der Basis von [mm] $V_{\IC}$ [/mm] eine Basis von [mm] $V_\IR$ [/mm] zu basteln.
Und kennst du schon Isomorphie?
Falls ja dann argumentiere am besten warum du einfach [mm] $\IC^n$ [/mm] betrachten kannst, hier hast du die Standardbasis, was das ganze ein wenig hübscher macht.
Falls nicht dann ist es auch ohne durchaus machbar.
Also finde erstmal eine Basis von [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum.
[/mm]
Versuch dann vielleicht erstmal eine Basis des [mm] $\IC^2$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] anzugeben, dann hast du sicher schon eine Vermutung für deinen Vektorraum V.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 19.10.2011 | | Autor: | M4T7 |
Hab bis jetzt geschafft, [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR [/mm] -Vektorraum auszudrücken (mit Basisvektoren 1,i und folglich Dimension 2), und auch [mm] \IC^{2} [/mm] (mit Basisvektoren (1,0), (0,1), (i,0), (0,i) und folglich Dimension 4), doch ich verstehe leider nicht, wie mir das weiterhelfen soll...
Zu allem Übel werde ich gerade noch von schlimmen Kopfschmerzen geplagt, die mir das Denken erschweren, doch es wäre schön, wenigstens diese Aufgabe noch bis morgen lösen zu können. :)
Freundliche Grüsse
M4T7
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Nun ja, nehmen wir mal an du hast eine Basis von V, in der Form:
[mm] $b_1 [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\ c \\ \vdots}$
[/mm]
[mm] $b_2 [/mm] = ...$
Diese Vektoren darfst du mit beliebigen Zahlen aus [mm] $\IC$ [/mm] multiplizieren und dann kriegst du den gesamten Vektorraum.
Welche zwei Vektoren müsstest du aus [mm] $b_1$ [/mm] basteln, damit du die beiden nur noch mit reelen Zahlen multiplizieren musst und trotzdem die gleichen Vielfachen kriegst?
Das gleiche hast du bereits bei [mm] $\IC$ [/mm] und [mm] $\IC^2$ [/mm] gemacht; jetzt halt nur allgemeiner.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mi 19.10.2011 | | Autor: | M4T7 |
Ich glaube, ich habe dich verstanden. Ist die Lösung einfach, dass ich für jeden Vektor nochmals den gleichen, einfach mit i multipliziert, aufstellen muss, um den selben Vektorraum nur mit reellen Skalaren erzeugen zu können (und somit doppelt so viele Basisvektoren erhalte)? Und deswegen die Basisvektoren des [mm] V_{\IR} [/mm] einfach [mm] x_{1}, ix_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}, ix_{n} [/mm] sind? Falls ja, dann vielen Dank für deine Mühe und Geduld!
Freundliche Grüsse
M4T7
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