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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Di 14.06.2005 | | Autor: | NECO |
Halllo lieber Mathematiker/in. Also ich glaube ich habe Probleme mit Dimensionen.
z.B. [mm] \IR^{3} [/mm] hat Dimension 3. So was ist mir Klar.Ich habe mir immer die Dimension so gemerkt. Es gibt drei lineare unabhängige Vektoren, mit dem man das ganze Raum aufspannen kann.
Jetzt habe ich so eien Aufgabe ich soll Dimension bestimmen.
Sei [mm] w=\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}) \in \IC
[/mm]
[mm] V=span_{Q} {1,w,w^{2}} [/mm] der von [mm] 1,w,w^{2} [/mm] aufgespannte Q-Untervektorraum von [mm] \IC
[/mm]
Ich soll die Q-Dimension von V bestimmen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Di 14.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]w=\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}) \in \IC[/mm]
>
> [mm]V=span_{Q} {1,w,w^{2}}[/mm] der von [mm]1,w,w^{2}[/mm] aufgespannte
> Q-Untervektorraum von [mm]\IC[/mm]
Ich nehme mal an, daß Q [m]\IQ[/m] ist, oder? Die Dimension ist offenbar maximal drei, da es der Spann aus drei Vektoren ist. 1 und w sind lin. unabhängig über [m]\IQ[/m] (warum?). Jetzt rechne doch mla [m]w^2[/m] aus, und schaue, ob sich das linaer darstellen lässt - oder eben nicht.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Di 14.06.2005 | | Autor: | NECO |
> > Sei [mm]w=\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}) \in \IC[/mm]
> >
> > [mm]V=span_{Q} {1,w,w^{2}}[/mm] der von [mm]1,w,w^{2}[/mm] aufgespannte
> > Q-Untervektorraum von [mm]\IC[/mm]
>
> Ich nehme mal an, daß Q [m]\IQ[/m] ist, oder? Die Dimension ist
> offenbar maximal drei, da es der Spann aus drei Vektoren
> ist. 1 und w sind lin. unabhängig über [m]\IQ[/m] (warum?). Jetzt
> rechne doch mla [m]w^2[/m] aus, und schaue, ob sich das linaer
> darstellen lässt - oder eben nicht.
>
> SEcki
ok erstmal vielen dank
[m]w^2[/m]= [mm] 0.25(1-2(i\wurzel{3})+(i\wurzel{3})^{2})
[/mm]
habe ich richtig gerechnet ?
Und kann man das darstellen oder was meinst du? 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mi 15.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> [m]w^2[/m]= [mm]0.25(1-2(i\wurzel{3})+(i\wurzel{3})^{2})[/mm]
>
> habe ich richtig gerechnet ?
Ja, aber ich wuerde das noch vereinfachen ...
> Und kann man das darstellen oder was meinst du?
Kann man (hoffe ich), aber das musst du wirklich selber machen ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 16.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo Zusammen. Ich habe die teilaufgabe von disem Aufgabe gelöst. mir fehlt die Matrix.
Beweisen Sie dass die Abbildung linear ist, und bilden Sie die Matrix diese Abbildung. z [mm] \in [/mm] V
z [mm] \to i\wurzel{3} \*z \inV
[/mm]
Die Lineare Abbildung habe ich gezeigt. Ich glauebe das ist hier eine Endomorphismus oder so? Ist ja egal. Ich brauche die Matrix. Dafür muss man ja die kanonische Basis abbilden, und das in Spalten schreiben. Wo sind hier die Basis? Welche Elemente soll ich abbilden? Die anderen Teilaufgaben sind oben. DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Do 16.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Beweisen Sie dass die Abbildung linear ist, und bilden Sie
> die Matrix diese Abbildung. z [mm]\in[/mm] V
Welche Abbilödung eigentlich?
> z [mm]\to i\wurzel{3} \*z \inV[/mm]
Diese? Als [m]\IR-[/m] oder als [m]\IC-[/m]lineare Abbildung? Das zweite ist klar, (da 1-dim. VR), zum zweiten: schau doch einfach wo 1 und wo i hinbgebildet werden, daß ergbit die Matrix dann von selsbt (1 dann als ersten Einheitsvektor, i als zweiten.)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Do 16.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo Zusammen, Guten Aben lieber Mathematiker/in. Ich habe kleine Fragen jetz ausführlich.
Es sei [mm] w=\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}) \in \IC [/mm] und [mm] V:=span_{\IQ}(1,w,w^{2}) [/mm] der von [mm] 1,w,w^{2} [/mm] aufgespannte [mm] \IQ-Untervektorraum [/mm] von [mm] \IC.
[/mm]
a)Bestimmen Sie die [mm] \IQ-Dimension [/mm] von V.
Dim(V)=2
1, w sind zwei linearunabhängige Elemente von V.
b) Beweisen Sie dass die Abbildung
[mm] z\to i\wurzel{3} \*z \in [/mm] V
[mm] \IQ-Linear [/mm] ist und bestimmen Sie die Matrix diese Abbildung.
Hier habe ich so angefangen:
Sei v,z [mm] \in [/mm] V
[mm] f(z)=i\wurzel{3} \*z [/mm]
[mm] f(v)=i\wurzel{3} \*v
[/mm]
[mm] f(z+v)=i\wurzel{3} \*(z+v)
[/mm]
[mm] =(i\wurzel{3} \*z)+(i\wurzel{3} \*v)
[/mm]
Sei [mm] \alpha \in \IC [/mm] ( ISt das hier richtig, weil das Grundkörper ist? oder? Woher nehme ich den eine Skalar?)
[mm] f(\alpha z)=i\wurzel{3} \*\alpha [/mm] z
= [mm] \alpha \*\wurzel{3} \* [/mm] z
= [mm] \alpha \*f(z).
[/mm]
Jetz muss ich die Matrix finden. DAnn brauche ich ja zwei kanonische Basis von diesem Untervektorraum, dann nehme ich die w, und di 1
f(1)=
f(w)=
Kann ich das so machen?
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> Es sei [mm]w=\bruch{1}{2}(-1+i\wurzel{3}) \in \IC[/mm] und
> [mm]V:=span_{\IQ}(1,w,w^{2})[/mm] der von [mm]1,w,w^{2}[/mm] aufgespannte
> [mm]\IQ-Untervektorraum[/mm] von [mm]\IC.[/mm]
>
> a)Bestimmen Sie die [mm]\IQ-Dimension[/mm] von V.
> Dim(V)=2
> 1, w sind zwei linearunabhängige Elemente von V.
Du müsstest noch zeigen, dass {1,w} auch V erzeugt.
> b) Beweisen Sie dass die Abbildung
> [mm]z\to i\wurzel{3} \*z \in[/mm] V
>
> [mm]\IQ-Linear[/mm] ist und bestimmen Sie die Matrix diese
> Abbildung.
Da steht [mm]\IQ[/mm]-Linear, die Skalare kommen also aus [mm]\IQ[/mm].
"Die Matrix dieser Abbildung" gibt es nicht. Man muss sich vorher Basen vorgeben.
> Jetz muss ich die Matrix finden. DAnn brauche ich ja zwei
> kanonische Basis von diesem Untervektorraum, dann nehme
> ich die w, und di 1
>
> f(1)=
> f(w)=
> Kann ich das so machen?
Jo. Da müsste eine 2x2-Matrix rauskommen. In den Spalten stehen die "Koeffizienten" der Bilder der Basisvektoren, d.h. du musst
f(1) und f(w) jeweils als Linearkombinationen von 1 und w
f(1) = x + y w
f(w) = x' + y' w
darstellen, die Matrix ist dann
x x'
y y'
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