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| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und U,W Unterräume von V endlicher Dimension. Zeige:
dim( U [mm] \times [/mm] W) = dim (U) + dim (W) |
Hallo.
Ich verstehe folgendes bei der Aufgabe nicht.
Sagen wir mal dim(U) wäre 3 und dim(W) wäre 4. Dann wäre dim (U [mm] \times [/mm] W) = 7.
Die Basis von U ist jetzt aber {u1, u2, u3} und die Basis W={w1,...,w4}
Dann hätte U [mm] \times [/mm] W 12 Paare. also {u1,...,u3} [mm] \times [/mm] {w1,...,w4}
Warum ist dann dim(U [mm] \times [/mm] W) die Summe der Dimensionen U und W und nicht das Produkt.
Kann mir jemand mal meinen Denkfehler aufzeigen ???
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei V ein K-Vektorraum und U,W Unterräume von V endlicher
> Dimension. Zeige:
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> dim( U [mm]\times[/mm] W) = dim (U) + dim (W)
> Hallo.
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> Ich verstehe folgendes bei der Aufgabe nicht.
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> Sagen wir mal dim(U) wäre 3 und dim(W) wäre 4. Dann wäre
> dim (U [mm]\times[/mm] W) = 7.
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> Die Basis von U ist jetzt aber {u1, u2, u3} und die Basis
> W={w1,...,w4}
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> Dann hätte U [mm]\times[/mm] W 12 Paare. also {u1,...,u3} [mm]\times[/mm]
> {w1,...,w4}
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{ [mm] u_1,...,u_3 [/mm] }[mm]\times[/mm] { [mm] w_1,...,w_4 [/mm] } liefert Dir i.a. keine Basis !!
Betrachte mal { [mm] (u_1,0), (u_2,0), (u_3,0), (0,w_1), (0,w_2), (0,w_3), (0,w_4) [/mm] }
Ist das vielleicht eine Basis von UxW ? Kannst Du das verallgemeinern ?
FRED
> Warum ist dann dim(U [mm]\times[/mm] W) die Summe der Dimensionen U
> und W und nicht das Produkt.
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> Kann mir jemand mal meinen Denkfehler aufzeigen ???
>
> DANKE
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Das hab ich mir schon gedacht.
U [mm] \times [/mm] W bildet ja einen neuen Vektorraum. Das heißt, dass der hat |U|*|W| Elemente.
In meinem oberen Beispiel also 12.
[mm] \{(u1,w1)(u1,w2),...,(u3,w4)}
[/mm]
Woher weiß ich denn nun, dass genau sieben davon meine Basis sind ??
Ich bekomm den Beweis nicht hin, wenn ich das nicht verstehe. Ich glaube mir fehlt irgendwo dazwischen eine entscheidende Information.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mi 18.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das hab ich mir schon gedacht.
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> U [mm]\times[/mm] W bildet ja einen neuen Vektorraum. Das heißt,
> dass der hat |U|*|W| Elemente.
???????
> In meinem oberen Beispiel also 12.
Nein,
> {(u1,w1)(u1,w2),...,(u3,w4)}
Diese Menge hat 12 Elemente !!
>
> Woher weiß ich denn nun, dass genau sieben davon meine
> Basis sind ??
>
> Ich bekomm den Beweis nicht hin, wenn ich das nicht
> verstehe. Ich glaube mir fehlt irgendwo dazwischen eine
> entscheidende Information.
{ [mm] (u_1,0), (u_2,0), (u_3,0), (0,w_1), (0,w_2), (0,w_3), (0,w_4) [/mm] } ist eine Basis von UxW !!
Dazu mußt Du zeigen:
1. [mm] (u_1,0), (u_2,0), (u_3,0), (0,w_1), (0,w_2), (0,w_3), (0,w_4) [/mm] sind l.u.
2.jedes (u,w) in UxW ist eine Linearkombination von [mm] (u_1,0), (u_2,0), (u_3,0), (0,w_1), (0,w_2), (0,w_3), (0,w_4)
[/mm]
Probiers mal.
FRED
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