Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Mi 08.12.2004 | | Autor: | FLy |
HI
Habe hier eine Übungsaufgabe die ich lösen sollte aber leider weiss ich überhaupt nicht was ich hier tun sollte.
Bestimmen Sie Dim(V,V´) für dim V=n und dim V´=n´
Tipp: basen für v und V´einführen die allgemeine gestalt für ein sigma element L(V,V´)auf stellen und damit dann die Basis L(v,v´) erraten
Könnte mir jemand weiter helfen?
mfg
Fly
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Mi 08.12.2004 | | Autor: | K-D |
Hi,
das ist eine blöde Antwort für alle, die es auch wissen wollen
und nicht in unserem Kurs sind.
Aber ich glaube es steht in unserem Skript auf Seite 83 bewiesen :)
Grüße,
K-D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Fly!
Es sei [mm] $\{v_1,\ldots,v_n\}$ [/mm] eine Basis von $V$ und [mm] $\{w_1,\ldots,w_{n'}\}$ [/mm] eine Basis von $V'$.
Betrachte für alle $i [mm] \in \{1,\ldots,n\}$ [/mm] und alle $j [mm] \in \{1,\ldots,n'\}$ [/mm] diejenige lineare Abbildung, die dadurch eindeutig bestimmt ist (warum?), dass [mm] $v_i$ [/mm] auf [mm] $w_j$ [/mm] abgebildet wird und alle anderen Basisvektoren auf die $0$ in $V'$.
Zeige nun, dass dadurch eine Basis von $L(V,V')$ gegeben wird.
Man kann die Basis auch so (äquivalent) angeben: Bezüglich der beiden oben fest gewählten Basen kann man jede lineare Abbildung von $V$ nach $V'$ als $n' times n$-Matrix darstellen. Betrachte nun diejenigen Matrizen, die genau aus einer $1$ (die irgendwo stehen darf) und ansonsten lauter $0$en bestehen (dies sind gerade die darstellenden Matrizen der obig definierten linearen Abbildungen bezüglich der fest gewählten Basen). Die dadurch induzierten linearen Abbildungen bilden eine Basis von $L(V,V')$.
Wie man es auch dreht und wendet: Diese Basis besteht aus $n' [mm] \times [/mm] n$ Elementen, d.h es gilt:
[mm] $\dim(L(V,V')) [/mm] = n' [mm] \cdot [/mm] n$.
Liebe Grüße
Julius
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