Diffgl. 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich bin gerade dabei zu Üben, leider fehlt mir zu obiger Aufgabe jeder Ansatz. Wie/Wo fängt man bei einer solchen Aufgabe an?
gruß,
Rutzel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Rutzel,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
>
> ich bin gerade dabei zu Üben, leider fehlt mir zu obiger
> Aufgabe jeder Ansatz. Wie/Wo fängt man bei einer solchen
> Aufgabe an?
Betrachte hier die Definition des Betrages.
Dann hast Du nämlich zwei DGL.
>
> gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Mi 31.12.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo MathePower,
danke für Deinen Hinweis.
Allerdings brauche ich bei dieser Aufgabe sehr detaillierte Hilfe, da ich mit DGL-lösen noch auf dem Kriegsfuß stehe.
Wenn ich deinen Hinweis beachte bekomme ich:
[mm] y'(x)=\begin{cases} y(x)^{\alpha}, & \mbox{für } y(x) \ge\mbox{0} \\ -y(x), & \mbox{für } y(x)^{\alpha} \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
aber irgendwie kann ich Differentialgleichungen immer nur Lösen, wenn ich das Ergebnis "sehe", (also, z.b. y'=y -> exponentialsfunktion ist Lösung)
Aber was mache ich hier mit dem [mm] \alpha?
[/mm]
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Hallo MathePower,
>
> danke für Deinen Hinweis.
>
> Allerdings brauche ich bei dieser Aufgabe sehr detaillierte
> Hilfe, da ich mit DGL-lösen noch auf dem Kriegsfuß stehe.
>
> Wenn ich deinen Hinweis beachte bekomme ich:
>
> [mm]y'(x)=\begin{cases} y(x)^{\alpha}, & \mbox{für } y(x) \ge\mbox{0} \\ -y(x), & \mbox{für } y(x)^{\alpha} \mbox{ < 0} \end{cases}[/mm]
>
> aber irgendwie kann ich Differentialgleichungen immer nur
> Lösen, wenn ich das Ergebnis "sehe", (also, z.b. y'=y ->
> exponentialsfunktion ist Lösung)
>
> Aber was mache ich hier mit dem [mm]\alpha?[/mm]
Erstmal nichts.
So jetzt hast Du die DGL aufgesplittet in zwei Teile.
Und jetzt kannst Du etwas über die Eindeutigkeit sagen.
Gelöst wird die DGL, in dem Du die ![[]](/images/popup.gif) Variablen trennst.
>
> Gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Do 01.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
>
> Gelöst wird die DGL, in dem Du die
> Variablen trennst.
>
> Gruß
> MathePower
Hm, ok, also wir haben: [mm] y'(x)=y(x)^\alpha
[/mm]
also
[mm] \frac{d}{dx}y=y^\alpha
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] dy=y^\alpha [/mm] dx
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{dy}=\integral{y^\alpha dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
und jetzt? jetzt hängt ja auf der rechten Seite y auch von x ab, wie integriere ich dort?
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> >
> > Gelöst wird die DGL, in dem Du die
> >
> Variablen trennst.
>
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> Hm, ok, also wir haben: [mm]y'(x)=y(x)^\alpha[/mm]
>
> also
> [mm]\frac{d}{dx}y=y^\alpha[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]dy=y^\alpha[/mm] dx
[mm]y^{\alpha}[/mm] mußt Du auch auf die andere Seite bringen:
[mm]\bruch{1}{y^{\alpha}} \ dy = dx[/mm]
Und jetzt erst kannst Du integrieren:
[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{y^{\alpha}} \ dy}=\integral_{}^{}{dx}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\integral{dy}=\integral{y^\alpha dx}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> und jetzt? jetzt hängt ja auf der rechten Seite y auch von
> x ab, wie integriere ich dort?
>
> Gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Do 01.01.2009 | | Autor: | Rutzel |
Ah, ok. Also:
[mm] \integral{\frac{1}{y^\alpha} dy} [/mm] = [mm] \integral{dx}
[/mm]
[mm] \frac{1}{1-\alpha} y^{1-\alpha} [/mm] = x
Also
y = [mm] (1-\alpha)x^{\frac{1}{1-\alpha}}
[/mm]
Aber:
y' ist ungleich [mm] y^\alpha. [/mm] :-(
Gruß,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Ah, ok. Also:
>
> [mm]\integral{\frac{1}{y^\alpha} dy}[/mm] = [mm]\integral{dx}[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{1-\alpha} y^{1-\alpha}[/mm] = x
Hier fehlt noch die Integrationskonstante C:
[mm]\frac{1}{1-\alpha} y^{1-\alpha} = x+C[/mm]
>
> Also
>
> y = [mm](1-\alpha)x^{\frac{1}{1-\alpha}}[/mm]
[mm]y^{1-\alpha}=\left(1-\alpha\right)*\left(x+C\right)[/mm]
Daraus ergibt sich:
[mm]y=\left( \ \left(1-\alpha\right)*\left(x+C\right) \ \right)^{\bruch{1}{1-\alpha}}[/mm]
>
> Aber:
>
> y' ist ungleich [mm]y^\alpha.[/mm] :-(
>
> Gruß,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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