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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Fibonacchi |
[mm] f:[a;b]\to\IR [/mm] sei stetig diffbar, [mm] n\in\IR.
[/mm]
[mm] F(n):=\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f(x))dx}=[\bruch{-sin(nx)f(x)}{n}]^{b}_{a}+\bruch{1}{n}\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f'(x))dx}
[/mm]
[mm] Stetigkeit:\Rightarrow \exists\varepsilon\in\IR^{\ge0}\Rightarrow\forall [/mm] x [mm] \in[a;b]:|f(x)|\le\varepsilon\wedge |f'(x)|\le\varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow F(n)=\bruch{1}{n}(sin(an)f(a)-sin(bn)f(bn)+\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f'(x))dx}) \le|F(x)|=|\bruch{1}{n}(sin(an)f(a)-sin(bn)f(bn)+\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f'(x))dx})|\le\bruch{1}{|n|}(|sin(an)f(a)|+|sin(bn)f(bn)|+|\integral_{a}^{b}{(sin(nx)f'(x))dx}|)
[/mm]
[mm] \le\bruch{1}{|n|}(|f(a)|+|f(b)|+|\integral_{a}^{b}{f'(x) dx}|\le\bruch{1}{|n|}(2\varepsilon+ \integral_{a}^{b}{\varepsilondx})=\bruch{\varepsilon}{|n|}(2+a-b)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{|n|\rightarrow\infty}(F(n))=\limes_{|n|\rightarrow\infty}(\bruch{\varepsilon}{|n|}(2+a-b))=0
[/mm]
Anwendung:
[mm] \integral_{\pi}^{x}{cos(kx)dx}=\bruch{sin(kx)}{k}
[/mm]
Riemannsche Summe für Kosinus: [mm] \summe_{k=1}^{n}cos(kx)= \bruch{sin((n+\bruch{1}{2})x)}{2sin(\bruch{x}{2})}-\bruch{1}{2}=\integral_{\pi}^{x}{\bruch{sin((n+\bruch{1}{2})x)}{2sin(\bruch{x}{2})}dx}-\bruch{x-\pi}{2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(F_{n}(x)):=\limes_{n\rightarrow\infty}(\integral_{\pi}^{x}{\bruch{sin((n+\bruch{1}{2})x)}{2sin(\bruch{x}{2})}dx})=0, x\in]0;2\pi[
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{k=1}^{n}\bruch{sin(kx)}{k})=\summe_{k\in\IN}^{}\bruch{sin(kx)}{k}=\bruch{x-\pi}{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Sa 05.03.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
es wäre nett, wenn du etwas ausformulieren könntest, was du eigentlich möchtest...
Ist das eine Frage? Dann stelle bitte auch eine.
Gehört das zu einem anderen Strang? Dann solltest du eigentlich dort antworten!
Bitte teile uns doch mit, wozu dieser Text gehören soll!
Danke und Gruss,
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 So 06.03.2005 | | Autor: | Fibonacchi |
Sollte ein von mir als interessant empfundenes Lemma einer als interessant empfindenden Öffentlichkeit mitteilen.
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