Differenzieren einer Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie mit der Definition der Differenzierbarkeit, dass die Funktion g differenzierbar ist und bestimmen sie die Ableitung mittels der Definiton der Ableitung.
g(x) = [mm] \begin{cases}
-3x + sin (x)/x & \ne 0\\
1 & x=0
\end{cases} [/mm] |
Wenn ich das richtig sehe, ist die Definition der Differenzierbarkeit doch ziemlich gleich der Ableitung. Nun versuche ich den ersten Fall zu differenzieren.
[mm] \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( g(x+h) - g(x) \right)
[/mm]
[mm] \\= \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( -3(x+h) + sin (x+h)/(x+h) - (-3x + sin(x)/x) \right)
[/mm]
[mm] \\= \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( -3h + sin (x+h)/(x+h) - sin(x)/x \right)
[/mm]
[mm] \\= \lim\limits_{h \to 0} [/mm] -3 + [mm] \frac{1}{h} \left(sin (x+h)/(x+h) - sin(x)/x \right)
[/mm]
An dieser Stelle komme ich nicht weiter. Wie kann ich das geschickt umstellen?
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Weiß ich auch nicht.
Ich würde auch viel einfacher anfangen und erstmal die Stelle [mm] x_0=0 [/mm] auf Differenzierbarkeit untersuchen; auf Stetigkeit hast Du sie doch sicher schon untersucht.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0_+}\bruch{-3x+\bruch{\sin{x}}{x}-1}{x}=\limes_{x\rightarrow 0_+}-3+\bruch{\bruch{\sin{x}}{x}-1}{x}
[/mm]
Und jetzt würde ich meinen Freund, Herrn de l'Hospital, einladen.
Wenn ich dann endlich weiß, dass die Funktion auch in [mm] x_0=0 [/mm] differenzierbar ist, würde ich mich an Deine Rechnung machen. Da ich ja schon (heimlich) ableiten kann, weiß ich auch, wohin mein Grenzwert gehen wird...
Vielleicht hilft ja schon ein einfacher Hauptnenner. 
lg,
reverend
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