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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f ducrh f(x)= [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x²}} [/mm] und die Funktion F durch F(x)=arctan [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x²}} [/mm]
[mm] (x\varepsilon [/mm] R, -1<x<1)
a) Zeigen Sie, dass die Funktion F eine Stammfunktion zur Funktion f darstellt.
b) Ermitteln Sie diejenige Stammfunktion G zur Funktion f, für die G(0) =1 gilt.
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So, nun mein Problem:
also ich habe um die Teilaufgabe a) zu lösen schon alles mögliche probiert! ich habe F(x) abgeleitet aber auch f(x) integriert. Komme aber nie auf die jeweilige andere Funktion!!!
Habe Substitution, partielle Integration und Integration durch Parzialbruchzerlegung probiert. HILFE!!!!
Und was ich ja an der Aufgabe noch komisch finde, dass im Tafelwerk das Integral über [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-x²}} [/mm] arcsin x ist!!!
Also wer die Aufgabe lösen kann, den bitte ich, dass mit Zwischenschritten zu tun, damit ich das auch nachvollziehen kann!
Vielen Dank im Voraus.
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du hast Recht: die Behauptung ist schlicht falsch...
hast du dir die Aufgabenstellung richtig notiert?
LG
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@: Al-Chwarizmi
hallo,
ja die aufgabe stimmt! ich hab sie mir nicht abgeschrieben sondern sie stammt aus einer alten staatsprüfungsklausur. und wenn ich in meinen Taschenrechner F(x) eingebe kommt dann ja auch f(x) heraus. ich weiß nur nicht wie man da hin kommt.
aber danke für deine überlegungen!
lg
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ertsmal danke für deine antwort!
aber hast du das jetzt mal weiter gerechnet?? da kommt doch dann nicht
f(x) raus - oder stehe ich jetzt komplett auf dem schlauch ???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Do 01.05.2008 | | Autor: | JulianTa |
Hast du mal ausprobiert, mit arctan etwas rumzuspielen?
Es gilt ja [mm] F(x)=\arctan (\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}) [/mm] = [mm] \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}) [/mm] = [mm] \frac{\cos (\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})}{\sin(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})}
[/mm]
Dann könntest du nach Ketten- und Quotientenregel ableiten...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Do 01.05.2008 | | Autor: | JulianTa |
'Tschuldigung, es müsste [mm] \sqrt{1-x^2} [/mm] heissen...> Hast du mal ausprobiert, mit arctan etwas rumzuspielen?
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aber das wird doch dann immer komplizierter....
denkst du, dass das so geht?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Julian!
Du verwechselst hier die Umkehrfunktion [mm] $\arctan(x)$ [/mm] mit dem Kehrwert der Funktion [mm] $\bruch{1}{\tan(x)}$ [/mm] .
Dise beiden Darstellungen sind nicht gleich!
Gruß
Loddar
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oh ja stimmt loddar,
und nun??? bei deiner version von vorhin komme ich leider noch nicht aufe einen grünen zweig!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo snoopy!
Ich habe nunmehr weiter gerechnet und muss Dir Recht geben (ebenso wie Al-Chr...  ).
Es gilt hier nicht $F'(x) \ = \ f(x)$ . Als Ableitung erhalte ich:
$$F'(x) \ = \ [mm] \bruch{x}{\left(2-x^2\right)*\wurzel{1-x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{2-x^2}*\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{2-x^2}*f(x)$$
[/mm]
Zur Veraunschulichung auch folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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danke loddar,
aber das ist trotzdem eine seltsame aufgabe! schließlich habe ich diese aus einer staatsprüfungsklausur.
hast du so einen taschenrechner, wo man sich die stammfunktion bzw. die abgeleitete funktion anzeigen lassen kann?
wenn ja, dann gebe doch mal bitte F(x) ein und wenn du das dann ableiten lässt kommt f(x) heraus. das verwirrt mich ja so!!!
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo snoopy!
Tut mir leid ... einen derartigen "Luxus"-Taschenrechner habe ich nicht. Ich verwende Stift und Papier ...
Gruß
Loddar
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ist ja auch kein problem. da werd ich mich mal an den professor wenden. hoffentlich kommt bei meiner staatsprüfungsklausur sowas nicht dran 
ich habe bestimmt in der nächsten zeit mal wieder eine frage...dann werde ich mich wieder melden.
also vielen dank für deine bemühungen
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Hallo snoopy,
genau die Grafik von loddar hab ich mir auch gemacht (CAS-Rechner).
Die Behauptung stimmt wirklich nicht...
Für F'(x) erhalte ich [mm] \bruch{x}{(2-x^2)*\wurzel{1-x^2}} [/mm] ,
also ganz was anderes als f(x) !
Besitzt du das Original der Staatsprüfungsklausur ?
Und wenn ja: möglicherweise werden sogar dort Fehler gemacht - oder:
vielleicht suchen die wirklich Studierende, welche genügend Selbst-
vertrauen haben, zu antworten: "die Behauptung ist falsch !" und
dies nachzuweisen.
LG
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ja das ist eine kopie vom original!
scheinbar musste man das dann so machen, dass man zeigt, dass das nicht die richtige stammfunktion ist. aber so ist ja nicht die frage gestellt! naja, uni eben!
man hat ja auch nur eine begrenzte zeit und das ist ja dann ganz schön gemein, weil man ja denkt, dass das so stimmt!
also dann
danke auch nochmal an dich
lg
snoopy
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Die Stammfunktion heißt
F(x)=arctan [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
[mm](x\varepsilon[/mm] R, -1<x<1),
es handelt sich offenbar um einen Druckfehler. Dies ist mit
arcsin(x) identisch.
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danke, das hätte ich auch merken sollen...
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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Kettenregel