Differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Funktion:
y = f(x) = (ln(3x*exp(cos²(x³))))^-2
1. Berechnen Sie dy!
2. Benutzen Sie das vorige Ergebnis und berechnen Sie näherungsweise die Änderung der y-Variable an der Stelle x=1, wenn x um 0.01 Einheiten steigt! |
Hallo!
Ich bin am verzweifeln: :-(
Sitz gerade an meiner Hausaufgabe für die Uni und kann die Aufgaben einfach nicht lösen. Normalerweise kann ich differenzieren, aber das ist mir zu schwer :-(
Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir bitte helfen könntet. Vielleicht findet sich ja das ein oder andere Mathegenie 
glg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Nachfragefunktion:
Q(P,I) = 100-3P²+10ln(I^(1/2))
1. Berechnen Sie jeweils die partielle Nachfrageelastizität!
2. Wie groß ist die partielle Nachfrageelastizität (ε QP) an der Stelle P=1? |
Das wäre die 2. Aufgabe.
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| Aufgabe | Gegeben sei folgende Funktion:
[mm] y=f(x1,x2,u,v)=3x1^2x2+exp(x2^1/2)+u^3v^{-1/2}
[/mm]
wobei x1=g(u,v)=ln(u)+v
und [mm] x2=h(u)=2u^4
[/mm]
1. Berechnen Sie die partielle totale Ableitung von y nach u!
2. Berechnen Sie die partielle totale Ableitung von y nach v! |
und die 3. bzw. letzte...
ACHTUNG: 3x1 --> 3*x1 und nicht 3*x*1, siehe auch x2
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Hallo Gaensebluemchen123,
> Gegeben sei folgende Funktion:
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> [mm]y=f(x1,x2,u,v)=3x1^2x2+exp(x2^1/2)+u^3v^{-1/2}[/mm]
[mm]y=f\left(x_{1},x_{2},u,v\right)=3x_{1}^{2}*x_{2}+e^{\bruch{x_{2}}{2}}+\bruch{u^{3}}{\wurzel{v}}[/mm]
>
> wobei x1=g(u,v)=ln(u)+v
> und [mm]x2=h(u)=2u^4[/mm]
>
> 1. Berechnen Sie die partielle totale Ableitung von y nach
> u!
>
> 2. Berechnen Sie die partielle totale Ableitung von y nach
> v!
Setze erstmal [mm]x_{1}=g\left(u,v\right), \ x_{2}=h\left(u,v\right)[/mm] ein, dann hast Du eine Funktion y, die nur von u,v abhängig ist.
Diese Funktion kannst jetzt mit den bekannten Differentiationsregeln ableiten.
> und die 3. bzw. letzte...
>
> ACHTUNG: 3x1 --> 3*x1 und nicht 3*x*1, siehe auch x2
Gruß
MathePower
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Ok, das war mir kalr, aber wie leite ich das ganze ab? z.B.: [mm] exp(x2^0,5)??, [/mm] oder v^-0,5
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Hallo Gaensebluemchen123,
> Ok, das war mir kalr, aber wie leite ich das ganze ab?
> z.B.: [mm]exp(x2^0,5)??,[/mm] oder v^-0,5
mit der Kettenregel:
[mm]e^{\bruch{1}{2}*x_{2}}=e^{\bruch{1}{2}*h\left(u,v\right)}[/mm]
Abgeleitet nach u ergibt:
[mm]\bruch{\partial }{\partial u}e^{\bruch{1}{2}*h\left(u,v\right)}=\bruch{\partial}{\partial u}\left(\bruch{1}{2}*h\left(u,v\right)\right)*e^{\bruch{1}{2}*h\left(u,v\right)}[/mm]
[mm]v^{-0.5}[/mm] wird nach der Potenzregel abgeleitet.
Gruß
MathePower
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Ok jetzt hab ichs, dankeschön
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> Gegeben sei folgende Nachfragefunktion:
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> Q(P,I) = [mm] 100-3P²+10ln(I^{1/2})
[/mm]
>
> 1. Berechnen Sie jeweils die partielle
> Nachfrageelastizität!
>
> 2. Wie groß ist die partielle Nachfrageelastizität (ε
> QP) an der Stelle P=1?
> Das wäre die 2. Aufgabe.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
schade, daß Du nicht schilderst, wo Dein Problem mit dieser Aufgabe liegt. Dann könnte man nämlich besser helfen.
Es ist [mm] \varepsilon_{Q,P}=P*\bruch{Q_P(P,I)}{Q(P,I)} [/mm] und
[mm] \varepsilon_{Q,I}=P*\bruch{Q_I(P,I)}{Q(P,I)}.
[/mm]
(Auf dem Bruchstrich stehen jeweils die partiellen Ableitungen.)
Hilfreich zu wissen ist sicher noch, daß [mm] ln(x^a)=a\ln(x).
[/mm]
Bei Aufgabe 2) bin ich etwas irritiert, weil kein Wert für I gegeben ist.
Gruß v. Angela
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Das Problem ist bei dieser Aufgabe, dass ich nicht weiß, wie man den Teil [mm] -3P^2+10ln(I^{1/2}) [/mm] ableitet.
Ich hätte es so gemacht: -6P+10/I^(1/2), aber ich glaub das stimmt nicht, kannst du mir helfen?
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> Das Problem ist bei dieser Aufgabe, dass ich nicht weiß,
> wie man den Teil [mm]-3P^2+10ln(I^{1/2})[/mm] ableitet.
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> Ich hätte es so gemacht: -6P+10/I^(1/2), aber ich glaub das
> stimmt nicht, kannst du mir helfen?
Hallo,
zunächst mal prinzipell zum Logarithmus:
Wenn Du die Funktion f(x)=ln(x) hast, ist deren Ableitung [mm] f'(x)=\bruch{1}{x}.
[/mm]
die Funktion [mm] g(x)=ln(x^{\bruch{3}{4}}) [/mm] müßtest Du mit der Kettenregel bearbeiten (versuch das mal!)
oder Du verwendest, was ich Dir zuvor mitteilte, nämlich [mm] g(x)=ln(x^{\bruch{3}{4}})=\bruch{3}{4}ln(x).
[/mm]
Deine Funktion war [mm] Q(P,I):=-3P^2+10ln(I^{1/2}).
[/mm]
Wenn Du nach P ableitest, also [mm] Q_P [/mm] berechnest, behandele das I wie eine gewöhnliche Zähl. D.H. beim Ableiten nach P wäre [mm] 10ln(I^{1/2}) [/mm] wie eine gewöhnliche Zahl zu behandeln, die Ableitung von diesem Ausdrück wäre 0.
Leitest Du nach I ab, berechnest also [mm] Q_I, [/mm] so mußt Du P behandeln wie eine gewöhnliche Zahl, d.h. beim partiellen Ableiten nach I ist Dein [mm] -3P^2 [/mm] wie eine Konstante.
Starte jetzt mit diesen Informationen einen Versuch.
Gruß v. Angela
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Ok:
Wir haben in der Uni ein ähnliches Beispiel gemacht:
[mm] Q=100-3P^2
[/mm]
[mm] E=dQP/dPQ=-6P*P/Q=-6P*P/100-3P^2=-6P^2/100-3P^2
[/mm]
dQ/dP=-6P
Bei diesem Beispiel wäre dQ/dP genau so -6P, wenn ich durch P ableite.
Müsste passen, oder?
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> Bei diesem Beispiel wäre dQ/dP genau so -6P, wenn ich durch
> P ableite.
> Müsste passen, oder?
Hallo,
redest Du jetzt von Deiner Funktion Q(P,I), welche wir besprachen?
Falls Du die meinst: ja, die partielle Ableitung nach P ist [mm] Q_P(P,I)=-6P.
[/mm]
(Das ist wie bei [mm] g(x)=-3x^2. [/mm] Es ist [mm] g'(x)=-3*2x^1=-6x.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ja genau die meinte ich Danke für deine Hilfe und Geduld, du hast mir voll geholfen... Ich bin in Mathe nicht so super, Statistik liegt mir einfach mehr... aber jetzt blick ich da endlich auch durch *puh*
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Kurze Frage noch:
Die partielle Ableitung nach I [mm] =3P^2+1/2lnI, [/mm] stimmt das eh so?
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Hallo Gaensebluemchen123,
> Kurze Frage noch:
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> Die partielle Ableitung nach I [mm]=3P^2+1/2lnI,[/mm] stimmt das eh
> so?
Leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da Du nach I ableitest, ist alles andere als eine Konstante anzusehen, also auch P.
Gruß
MathePower
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Hallo!
Vielleicht verwendest du zunächst ein paar Logarithmenregeln, um das zu vereinfachen:
wegen [mm] \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) [/mm] wird aus
[mm] \ln(3x*\exp(\cos^2(x^3)))
[/mm]
[mm] =\ln(3x)+\ln(\exp(\cos{^2}(x^3)))
[/mm]
[mm] =\ln(3x)+\cos{^2}(x^3)
[/mm]
Das vereinfacht die Sache doch schon erheblich, und du benötigst nur noch die Kettenregel.
[mm] \left[\frac{1}{(\ln(3x)+\cos{^2}(x^3))^2}\right]'
[/mm]
[mm] =[\ln(3x)+\cos{^2}(x^3)]'*-\frac{1}{(\ln(3x)+\cos{^2}(x^3))^3}
[/mm]
Der linke Teil sollte nun kein Problem mehr darstellen, oder?
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Vielen Dank für die schnelle Antwort: Bis zur Kettenregel versteh ich's jetzt, aber da kann man jetzt eh nichts mehr machen, oder ist [mm] ln(3x)+cos^2(x^3)'*-1/(ln(3x)+cos^2(x^3))^3 [/mm] noch nicht das Ergebnis?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Mo 31.03.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wir sind uns ja einig, dass die Ableitung von
[mm] \left[\frac{1}{(\ln(3x)+\cos{^2}(x^3))^2}\right]'
[/mm]
folgendes ist:
[mm] \green{[\ln(3x)+\cos{^2}(x^3)]}\red{'}\cdot{}\left(-\frac{2}{(\ln(3x)+\cos{^2}(x^3))^3}.\right)
[/mm]
Den farbigen Teil musst du aber hier noch ableiten, was aber kein Problem darstellen sollte. Hier kannst du die beiden Summanden ja getrennt ableiten. Allerdings brauchst du bei beiden noch die Kettenregel.
Marius
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Super danke du hast mir total geholfen
Stimmt das dann so: [mm] 1/3x*3+(-sin)^2*3x^2=1/3x*3x+cos^2*3x^2
[/mm]
Könntest du dir vielleicht auch noch die dirtte Aufgabe anschaun? Natürlich nur wenn du Zeit hast, aber du erklärst das so super, wär echt nett.
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> Stimmt das dann so:
> [mm]1/3x*3+(-sin)^2*3x^2=1/3x*3x+cos^2*3x^2[/mm]
Hallo,
der Teil, der vom Logarithmus kommt, ist richtig.
Die Ableitung von h(x)= [mm] cos^2(x^3) [/mm] ist etwas vertrackt und stimmt nocht nicht.
Vielleicht ist es einfacher, Du schreibst es Dir als
[mm] h(x)=\red{(}cos(x^3)\red{)^2}
[/mm]
Nun kommt die Kettenregel zum Einsatz: äußere*innere Ableitung, also
[mm] h'(x)=\red{2*(}cos(x^3)\red{)^{2-1}}*(cos(x^3))'
[/mm]
[mm] =2*(cos(x^3))*(cos(x^3))' [/mm]
Nun müssen wir wieder die Kettenregel auf [mm] (cos(x^3))' [/mm] anwenden - mach mal!
Gruß v. Angela
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[mm] cos(x^3) [/mm] wär dann [mm] -sin*3x^2, [/mm] also = [mm] 2*(cos(x^3))*-sin*3x^2
[/mm]
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> [mm]cos(x^3)[/mm] wär dann [mm]-sin*3x^2,[/mm] also = [mm]2*(cos(x^3))*-sin*3x^2[/mm]
Ich hoffe, daß Du das richtige meins.
Die Ableitung v. [mm] cos(x^3) [/mm] ist [mm] \underbrace{3x^2}_{=innere}*\underbrace{-sin(x^3)}_{aeussere}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Ja genau das hab ich eh gemeint  Danke dir!
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> [mm]\left[\frac{1}{(\ln(3x)+\cos{^2}(x^3))^2}\right]'[/mm]
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> [mm]=[\ln(3x)+\cos{^2}(x^3)]'*-\frac{1}{(\ln(3x)+\cos{^2}(x^3))^3}[/mm]
da fehlt meiner Meinung nach noch die "2", wahrscheinlich einfach verlorengegangen
[mm]\left[\frac{1}{(\ln(3x)+\cos{^2}(x^3))^2}\right]'=[\ln(3x)+\cos{^2}(x^3)]'*-\frac{2}{(\ln(3x)+\cos{^2}(x^3))^3}[/mm]
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