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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Do 11.11.2004 | | Autor: | b-hugo |
Hallo,
bei der folgende Aufgabe könnte ich Hilfe brauchen:
Für eine auf dem Intervall I mit 0 [mm] \in [/mm] I stetig differenzierbare Funktion f zeige man:
Für alle x [mm] \in [/mm] I gilt: f(x)- f(0) [mm] =x\integral_{0}^{1} [/mm] {f'(tx) dt}
Und weiter zeige man: Für eine auf dem Intervall I mit 0 [mm] \in [/mm] I n-mal stetig differenzierbare Funktion f zeige man:Für alle x [mm] \in [/mm] I gilt:
[mm] f(x)=\summe_{k=0}^{n-1} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!} x^{k} +\bruch{x^{n}}{(n-1)!} \integral_{0}^{1} {(1-t)^{n-1} f^{(n)}(tx) dt}
[/mm]
Das letztere ist wohl die Taylorformel mit einem Restglied in Integralform! Was ich weiter damit anfangen soll weiß ich nicht- vielleicht kann mir jemand helfen?? Vielen Dank schon mal, Gruß b-hugo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Do 11.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo n-hugo!
Der erste Teil folgt so:
Definiere dir [mm] $\varphi [/mm] :[0,1] [mm] \to [/mm] I$ durch [mm] $\varphi(t):=tx$.
[/mm]
Dann gilt mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, angewendet auf $f [mm] \circ \varphi$:
[/mm]
$f(x) - f(0) = [mm] f(\varphi(1)) [/mm] - [mm] f(\varphi(0)) [/mm] = [mm] \int\limits_0^1 [/mm] (f [mm] \circ \varphi)'(t)\, [/mm] dt = [mm] \int_0^1 f'(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\, [/mm] dt = [mm] \int_0^1 [/mm] f'(tx) [mm] \cdot [/mm] x [mm] \, [/mm] dt = [mm] x\, \int_0^1 f'(tx)\, [/mm] dt$.
Für den zweiten Teil müssen wir wissen, welche Darstellungen und Sätze ihr bisher für die Taylor-Reihe hattet...
Liebe Grüße
Julius
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