Differenzierbarkeitskriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mo 23.04.2007 | | Autor: | jodib |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Ich hab hier zwei Aufgaben durchgerechnet. Die sollen irgendwo Fehler enthalten. Ich weiß aber leider nicht wo. Wäre prima wenn die jemand entdeckt.
| Aufgabe 1 |
Gegeben ist die auf \IR definierte Funktionenschar fa,b mit a,b \in \IR und
$ f_{a,b}(x)=\begin{cases} 2bx, & \mbox{für } x \le \mbox{1} \\ ax^2+1, & \mbox{für } x > \mbox{1} \end{cases} $
Bestimmen Sie a,b so, dass fa,b überall stetig und differenzierbar ist. |
Bedingung:
$ \limes_{x\rightarrow\ x_{0}+}f(x) = \limes_{x\rightarrow\ x_{0}-}f(x) $ (Funktion wird auf Stetigkeit geprüft)
$ \wedge $
$ \limes_{x\rightarrow\ x_{0}+}f'(x) = \limes_{x\rightarrow\ x_{0}-}f'(x) $ (Funktion wird nach dem neuen Kriterium auf Differenzierbarkeit geprüft)
Ableitung von fa,b
$ f'_{a,b}(x)=\begin{cases} 2b, & \mbox{für } x\le \mbox{1} \\ 2ax, & \mbox{für } x> \mbox{1} \end{cases} $
Rechnung:
x0= 1
$ \limes_{x\rightarrow\ 1+}f_{a,b}(x) = \limes_{x\rightarrow\ 1+}ax^2+1 = \limes_{h\rightarrow\ 0}a(1+h)^2+1 = \limes_{h\rightarrow\ 0}a+\underbrace{2ah}_{=0}+\underbrace{h^2}_{=0}+1 = a+1 $
$ \limes_{x\rightarrow\ 1-}f_{a,b}(x) = \limes_{x\rightarrow\ 1-}2bx = \limes_{h\rightarrow\ 0}2b(1-h) = \limes_{h\rightarrow\ 0}2b-\underbrace{2bh}_{=0} = 2b $
$ \limes_{x\rightarrow\ 1+}f'_{a,b}(x) = \limes_{x\rightarrow\ 1+}2ax = \limes_{h\rightarrow\ 0}2a(1+h) = \limes_{h\rightarrow\ 0}2a+\underbrace{2ah}_{=0} = 2a $
$ \limes_{x\rightarrow\ 1-}f'_{a,b}(x) = \limes_{x\rightarrow\ 1-}2b = \limes_{h\rightarrow\ 0}2b = 2b $
Daraus folgt ein Lgs mit:
a+1 = 2b $ \wedge $ 2a = 2b
a+1 = 2a
a = 1 2 = 2b
b = 1
Die Funktion fa,b ist für a = 1 und b = 1 stetig und differenzierbar in allen Punkten.
| Aufgabe 2 |
Im Intervall$ [0;2\pi] $sei die Funktion f:(x)= |cos x| gegeben.
1. Stellen Sie f betragsfrei dar.
2. Bestimmen Sie f' und Df .
3. Skizzieren Sie Gf und Gf . |
1.)
$ f(x)=\begin{cases} cosx, & \mbox{für } 0 \le x \le \bruch{\pi}{2} \ und \ \bruch{3\pi}{2} \le x \le 2\pi\\ -cosx, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2}<x<\bruch{3\pi}{2} \end{cases} $
2.)
$ f'(x)=\begin{cases} -sinx, & \mbox{für } 0 \le x \le \bruch{\pi}{2} \ und \ \bruch{3\pi}{2} \le x \le 2\pi\\ sinx, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2}<x<\bruch{3\pi}{2} \end{cases} $
Nahtstellen überprüfen bzw. wo die Intervalle ineinander übergehen also an $ \bruch{\pi}{2} $ und $ \bruch{3\pi}{2} $ .
Bedingung:
$ \limes_{x\rightarrow\ x_{0}+}f(x) = \limes_{x\rightarrow\ x_{0}-}f(x) $ (Funktion wird auf Stetigkeit geprüft)
Rechnung:
X0=$ \bruch{\pi}{2} $
$ \limes_{x\rightarrow\ {\bruch{\pi}{2}+}}-cosx = \limes_{h\rightarrow\ {0}}-cos(\bruch{\pi}{2}\underbrace{+h}_{=0}}) = -cos\bruch{\pi}{2} = 0 $
$ \limes_{x\rightarrow\ {\bruch{\pi}{2}-}}cosx = \limes_{h\rightarrow\ {0}}cos(\bruch{\pi}{2}\underbrace{-h}_{=0}}) = cos\bruch{\pi}{2} = 0 $
somit ist die Funktion f(x) stetig im Punkt $ \bruch{\pi}{2} $
X0= $ \bruch{3\pi}{2} $
$ \limes_{x\rightarrow\ {\bruch{3\pi}{2}+}}cosx = \limes_{h\rightarrow\ {0}}cos(\bruch{3\pi}{2}\underbrace{+h}_{=0}}) = cos\bruch{3\pi}{2} = 0 $
$ \limes_{x\rightarrow\ {\bruch{3\pi}{2}-}}-cosx = \limes_{h\rightarrow\ {0}}-cos(\bruch{3\pi}{2}\underbrace{-h}_{=0}}) = -cos\bruch{3\pi}{2} = 0 $
somit ist die Funktion f(x) stetig im Punkt $ \bruch{3\pi}{2} $
Bedingung:
$ \limes_{x\rightarrow\ x_{0}+}f'(x) = \limes_{x\rightarrow\ x_{0}-}f'(x) $ (Funktion wird auf Differenzierbarkeit geprüft)
Rechnung:
X0= $ \bruch{\pi}{2} $
$ \limes_{x\rightarrow\ {\bruch{\pi}{2}+}} sinx = \limes_{h\rightarrow\ {0}} sin(\bruch{\pi}{2}\underbrace{+h}_{=0}}) = sin\bruch{\pi}{2} = 1 $
$ \limes_{x\rightarrow\ {\bruch{\pi}{2}-}}-sinx = \limes_{h\rightarrow\ {0}}-sin(\bruch{\pi}{2}\underbrace{-h}_{=0}}) = -sin\bruch{\pi}{2} = -1 $
Bedingung nicht erfüllt, also nicht differenzierbar im Punkt \bruch{\pi}{2}
X0= \bruch{3\pi}{2}
$ \limes_{x\rightarrow\ {\bruch{3\pi}{2}+}} -sinx = \limes_{h\rightarrow\ {0}} -sin(\bruch{3\pi}{2}\underbrace{+h}_{=0}}) = -sin\bruch{3\pi}{2} = 1 $
$ \limes_{x\rightarrow\ {\bruch{3\pi}{2}-}} sinx = \limes_{h\rightarrow\ {0}} sin(\bruch{3\pi}{2}\underbrace{-h}_{=0}}) = sin\bruch{3\pi}{2} = -1 $
Bedingung nicht erfüllt, also nicht differenzierbar im Punkt \bruch{3\pi}{2}
Daraus folgt D_{f '} = [0;2\pi] \ {\bruch{\pi}{2};\bruch{3\pi}{2}}
3.)
Gf [Dateianhang nicht öffentlich] Gf ' [Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo jodib!
Bei Aufgabe 1 kann ich keinen Fehler entdecken ... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß vom
Roadrunner
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> Bei Aufgabe 1 kann ich keinen Fehler entdecken ...
Hallo,
ich meine, daß das hier (*)
> Ableitung von fa,b
>
> [mm]f'_{a,b}(x)=\begin{cases} 2b, & \mbox{für } x\le \mbox{1} \\ 2ax, & \mbox{für } x> \mbox{1} \end{cases}[/mm]
nicht richtig richtig ist.
Es ist die Ableitung der Funktion eingeschränkt auf x [mm] \le [/mm] 1 =2b,
die Ableitung der Funktion eingeschränkt auf x>1 =2ax,
aber ob die Ableitung der (nicht eingeschränkten) Funktion an der Stelle x=1 existiert, weiß man noch nicht.
Die a,b, für welche die Ableitung an dieser Stelle existiert, werden dann ja anschließend korrekt berechnet.
An der Stelle (*) hätte man vielleicht besser geschrieben:
"Die Funktion ist diffbar für x [mm] \in \IR^{1}. [/mm] Es ist
[mm]f'_{a,b}(x)=\begin{cases} 2b, & \mbox{für } x< \mbox{1} \\ 2ax, & \mbox{für } x> \mbox{1} \end{cases}[/mm]".
Dann würde die Untersuchung der Stelle x=1 folgen.
Gruß v. Angela
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Hallo jodib!
Auch bei Aufgabe 2 kann ich keinen Fehler entdecken, außer ...
... bei der Darstellung der Ableitung solltest jeweils nicht [mm] $\le$ [/mm] sondern $<_$ schreiben, da die entsprechenden Stellen (wie später nachgewiesen) nicht zum Definitionsbereich der Ableitungsfunktion gehören.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 24.04.2007 | | Autor: | jodib |
Hi Roadrunner,
du meinst die [mm] \le [/mm] in der betragsfreien Darstellung von f '?
Hm ich hab mir jetzt die Aufgabenstellung nochmal durchgelesen. Da steht ja eigentlich nur, dass ich f ' und Df ' bestimmen soll. Da könnte ich ja die betragsfreie Darstellung an dieser Stelle weglassen und einfach f '(x)= |-sin x| schreiben. Dann wie gehabt die Differnzierbarkeit prüfen. Und erst im Anschluß die betragsfreie Schreibweise von f ' bringen. Weil ich ja zu diesem Zeitpunkt erst weiß, dass ich die Punkte ausschließen muß.
Also so oder?
[mm] f'(x)=\begin{cases} -sinx, & \mbox{für } 0 < x < \bruch{\pi}{2} \ und \ \bruch{3\pi}{2} < x < 2\pi\\ sinx, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2}
Wie komme ich eigentlich auf die Nahtstellen rechnerisch? Weil ich habs grafisch gemacht.
Gruß
Jodib
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Hallo Jodib!
> du meinst die [mm]\le[/mm] in der betragsfreien Darstellung von f '?
Genau ...
> Hm ich hab mir jetzt die Aufgabenstellung nochmal
> durchgelesen. Da steht ja eigentlich nur, dass ich f ' und
> Df ' bestimmen soll. Da könnte ich ja die betragsfreie
> Darstellung an dieser Stelle weglassen und einfach f '(x)=
> |-sin x| schreiben.
Das entsoricht aber nicht der Ableitung.
> Also so oder?
>
> [mm]f'(x)=\begin{cases} -sinx, & \mbox{für } 0 < x < \bruch{\pi}{2} \ und \ \bruch{3\pi}{2} < x < 2\pi\\ sinx, & \mbox{für } \bruch{\pi}{2}
> Wie komme ich eigentlich auf die Nahtstellen rechnerisch?
> Weil ich habs grafisch gemacht.
Das sind die Nullstellen der Funktion [mm] $\cos(x)$ [/mm] ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Di 24.04.2007 | | Autor: | jodib |
Ja stimmt das mit dem |-sin x| war Mist 
Das mit den Nahtstellen und Definitionsbereich erkläre ich dann wie folgt:
Da ich ja den Betrag der cos x Funktion suche, darf es nur der positive Bereich sein. Der positive und negative Bereich wird von der x-Achse getrennt. Also muß ich die Stellen überprüfen wo normalerweiße der Vorzeichenwechsel stattfindet, also direkt auf der x-Achse was den Nullstellen des Graphen entspricht.
Aber wie soll ich dass dann Begründen dass ich aufeinmal die [mm] \le [/mm] in < ändere?
Vielleicht mit: Das man sie pauschal wegläßt und nachdem man auf Differenzierbarkeit geprüft hat, es gegebenenfalls nachträgt.
Gruß
jodib
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Hallo Jodib!
> Aber wie soll ich dass dann Begründen dass ich aufeinmal
> die [mm]\le[/mm] in < ändere?
>
> Vielleicht mit: Das man sie pauschal wegläßt und nachdem
> man auf Differenzierbarkeit geprüft hat, es gegebenenfalls
> nachträgt.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau ...
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 24.04.2007 | | Autor: | jodib |
| Aufgabe | Ist eine Funktion f an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] stetig und rechts und links davon differenzierbar und gilt:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}+}f'(x)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}-}f'(x)[/mm] = a [mm]\in \IR[/mm]
so ist f an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar mit f´( [mm]x_{0}[/mm]) = a
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Die Aussage ist ja wie oben. Aber was soll mir der letzte Satz sagen "so ist f an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar mit f´( [mm]x_{0}[/mm]) = a"
Muß ich da nicht noch was rechnen?
Gruß
Jodib
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> Ist eine Funktion f an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] stetig und rechts
> und links davon differenzierbar und gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}+}f'(x)[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_{0}-}f'(x)[/mm]
> = a [mm]\in \IR[/mm]
>
> so ist f an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar mit f´( [mm]x_{0}[/mm])
> = a
>
> Die Aussage ist ja wie oben. Aber was soll mir der letzte
> Satz sagen "so ist f an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar
> mit f´( [mm]x_{0}[/mm]) = a"
>
> Muß ich da nicht noch was rechnen?
Hallo,
ja, da ist etwas zu zeigen.
Du hast hier stetige eine Funktion, welche rechts und links von [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist.
Sowohl die Ableitung von unten als auch die von oben hat an der Stelle [mm] x_0 [/mm] einen Grenzwert, dieser ist sogar gleich, nämlich =a.
Das ist das Material, welches zur Verfügung steht.
Zeigen sollst Du
> so ist f an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar
Hier ist zu zeigen, daß der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert. Sofern er existiert, ist die Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] diffbar, es ist die Ableitung an der Stelle x-0, also [mm] f'(x_0) [/mm] gleich diesem Grenzwert.
> mit f´( [mm]x_{0}[/mm]) = a
Wenn der Grenzwert existiert, ist er die Ableitung an dieser Stelle.
Wenn der Grenzwert =a ist, ist also [mm] f'(x_0)=a.
[/mm]
Gruß v. Angela
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