Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 06:59 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Mace |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo, habe bei folgender aufgabenstellung keinen plan wie ich anfangen soll....vom abschluss ganz zu schweigen!
wäre sehr dankbar wenn mir jemand einige denkanstöße geben könnte.
mfg mace
Begründe folgende Aussagen ausführlich:
[a] Die Funktion [mm] \IR \to \IR
[/mm]
f: x [mm] \mapsto [/mm] x / (1+ |1|)
ist überall in [mm] \IR [/mm] differenzierbat; bestimme f´.
(b) Die Funktion [mm] \IR \to \IR
[/mm]
g: x [mm] \mapsto [/mm] |x| / (1+ |1|)
ist in 0 stetig, aber nicht in null differenzierbar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mace!
Bist Du sicher, daß Du die Funktionen hier richtig angegeben hast?
In der dargestellten Form ergeben sich nämlich folgenden Funktionen:
a.) $f : x [mm] \mapsto \bruch{x}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * x$
Hierbei handelt es sich um eine Gerade.
b.) $f : x [mm] \mapsto \bruch{|x|}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * |x|$
Um die Stetigkeit im Punkt [mm] $x_0 [/mm] = 0$ nachzuweisen, mußt Du zeigen:
[mm] $\limes_{x_0\rightarrow0-} f(x_0) [/mm] = [mm] \limes_{x_0\rightarrow0+} f(x_0) [/mm] = f(0)$
Für die Differenzierbarkeit muß gelten:
[mm] $\limes_{x_0\rightarrow0-} \bruch{f(x_0) - f(0)}{x_0 - 0} [/mm] = [mm] \limes_{x_0\rightarrow0+} \bruch{f(x_0) - f(0)}{x_0 - 0}$
[/mm]
Am leichtesten ist es, wenn Du für die Funktion eine Fallunterscheidung für |x| machst ...
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Mace |
ja klar, hat sich ein fehler eingeschlichen....
also die beiden einsen in betragstrichen machen ja kaum sinn!
die beiden sind jeweils durch ein x zu ersetzen.
war heut morgen wohl noch etwas müde
gruß mase
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mace,
dann werden wir uns mal mit (a.) beschäftigen ...
Aufgabe (b.) solltest Du dann selber hinbekommen. 
f: x [mm] \mapsto \bruch{x}{1+ |x|}
[/mm]
Wie bereits angedeutet, machen wir eine Fallunterscheidung wegen der Betragsstriche:
|x| := [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x}{1+x}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ \bruch{x}{1-x}, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Knackpunkt dieser Funktion ist die Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$. An allen anderen Punkten kann Stetigkeit und Differenzierbarkeit vorausgesetzt werden, da sich die Funktion aus stetigen und differenzierbaren Teilfunktionen zusammensetzt.
Für die Stetigkeit muss nun nachgewiesen werden, daß linksseitiger Grenzwert und rechtsseitiger Grenzwert existieren und übereinstimmen.
Diese Grenzwerte müssen nun auch genau den Wert [mm] $f(x_0) [/mm] = f(0)$ ergeben.
linksseitiger Grenzwert:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0-} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow0-} \bruch{x}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1-0} [/mm] = 0$
rechtsseitiger Grenzwert:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0+} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow0+} \bruch{x}{1+x} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1+0} [/mm] = 0 = f(0)$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Damit haben wir die Stetigkeit der Funktion (einschl. der Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$) nachgewiesen.
Ähnlich sieht der Nachweis der Differenzierbarkeit aus.
Auch hier ist lediglich unsere alte bekannte Stelle [mm] $x_0 [/mm] = 0$ die einzige fragliche Stelle.
Für alle Werte $x [mm] \not= [/mm] 0$ können wir also die Ableitung bestimmen (Ermittlung mit Quotientenregel):
[mm] f'(x)=\begin{cases} \bruch{1}{(1+x)^2}, & \mbox{für } x > 0 \\ \bruch{1}{(1-x)^2}, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Auch hier wieder Betrachtung von rechtsseitigem und linksseitigem Grenzwert.
linksseitiger Grenzwert:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0-} [/mm] f'(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow0-} \bruch{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-0)^2} [/mm] = 1$
rechtsseitiger Grenzwert:
[mm] $\limes_{x\rightarrow0+} [/mm] f'(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow0+} \bruch{1}{(1+x)^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+0)^2} [/mm] = 1$
Damit wäre auch die Differenzierbarkeit der Funktion f(x) nachgewiesen.
Mit dieser sehr ausführlichen Lösung sollte Aufgabe (b.) nun wirklich kein Problem mehr sein ...
Grüße
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Do 30.12.2004 | | Autor: | Mace |
jupp, da haste wohl recht....
wenn die vorgehensweise erstmal klar ist, sieht sowas gleich ganz anders aus.
jedenfalls schon mal vielen dank!!!
dann werd ich mich in naher zukunft mal an b testen.
cu
mace
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