Differenzierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mo 06.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
es sei U [mm] \subset \IR^{n}. [/mm] f:U [mm] \to \IC [/mm] heißt differenzierbar in a [mm] \in [/mm] U , wenn es eine lineare Abbildung [mm] L:\IR^{n} \to\IC [/mm] gibt derart, dass
[mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(a+h)-f(a)-Lh}{|h|}=0.
[/mm]
Diese Abbildung L ist eindeutig bestimmt und heißt (totales) Differential von f in a.
Soweit, so gut. Aber wie genau sieht diese Abbildung aus?
Herzlichen Dank,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Mo 06.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
In diesem speziellen Fall sieht das totale Differential bzw. die zugehörige lineare Abbildung wie folgt aus:
[mm]L: \begin{array}{ccl} \IR^n & \to & \IC \\[5pt] h & \mapsto & Lh:= \langle grad_a(Re\, f),h \rangle + i \, \langle grad_a(Im\, f),h \rangle \end{array}[/mm].
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Mo 06.09.2004 | | Autor: | regine |
Danke für die schnelle Antwort!!!
Ok... Ich meine, ich habe es verstanden. Aber ganz ehrlich, nur so ungefähr.
Wie würde denn diese Abbildung aussehen, wenn L: [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] gelten würde?
Herzlichen Dank und liebe Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Di 07.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
> Wie würde denn diese Abbildung aussehen, wenn L: [mm]\IR^{n} \to \IR[/mm]
> gelten würde?
Na, so:
$L : [mm] \begin{array}{ccl} \IR^n & \to & \IR \\[5pt] h & \mapsto & Lh:= \langle grad_a(f),h \rangle = h_1\, \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) + \ldots + h_n \, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \end{array}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:28 Di 07.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
mich hatte verwirrt, daß im Königsberger 2 steht, daß
$ [mm] \langle grad_a(f),h \rangle [/mm] = Nabla f(a) $ ,
welches meiner Meinung nach nicht stimmt. Und daraufhin kam ich mit der Definition des Gradienten nicht klar. In anderen Büchern steht es auch anders.
Danke!
Viele Grüße,
Regine.
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