Differenzierbare Funktionen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 26.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
| Aufgabe | Es seien f und g zwei stetig differenzierbare reellwertige Funktionen, die auf dem offenen Intervall I definiert seien. I enthalte den Nullpunkt und es gelte auf ganz I
f'(x)=g(x)
g'(x)= -f(x)
Man zeige: gilt f(0)=0 und g(0)=1, so gilt in ganz I die gleichung [mm] f^2(x) [/mm] + [mm] g^2(x) [/mm] =1 |
Hallo,
diese beiden Funktionen treffen doch exakt für sinus und cosinus zu, oder?
Hilft mir diese Erkenntnis für den Beweis? Brauche ich den Mittelwertsatz?
Vielen Dank im Voraus.
Grüße
Ronja
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es seien f und g zwei stetig differenzierbare reellwertige
> Funktionen, die auf dem offenen Intervall I definiert
> seien. I enthalte den Nullpunkt und es gelte auf ganz I
> f'(x)=g(x)
> g'(x)= -f(x)
>
> Man zeige: gilt f(0)=0 und g(0)=1, so gilt in ganz I die
> gleichung [mm]f^2(x)[/mm] + [mm]g^2(x)[/mm] =1
> Hallo,
>
> diese beiden Funktionen treffen doch exakt für sinus und
> cosinus zu, oder?
Ja
> Hilft mir diese Erkenntnis für den Beweis? Brauche ich den
> Mittelwertsatz?
Nein
Die Vor.
f'(x)=g(x)
g'(x)= -f(x)
zeigen: $f(x)f'(x) +g(x)g'(x) = 0$ für jedes x (siehst Du das ?)
Unbestimmte Integration liefert: es ex. ein c [mm] \in \IR [/mm] mit:
$c = [mm] 1/2(f^2(x) +g^2(x))$ [/mm] für jedes x .
Die Vor. f(0)=0 und g(0)=1 liefern c = 1/2. Und Du bist fertig.
FRED
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Grüße
> Ronja
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Mo 26.01.2009 | | Autor: | ronja33 |
vielen Dank,
>
> zeigen: [mm]f(x)f'(x) +g(x)g'(x) = 0[/mm] für jedes x
> (siehst Du das ?)
>
Ja, das sehe ich. Aber was mache ich damit? Warum integrieren?
> Unbestimmte Integration liefert: es ex. ein c [mm]\in \IR[/mm] mit:
>
> [mm]c = 1/2(f^2(x) +g^2(x))[/mm] für jedes x .
>
> > >
> > Vielen Dank im Voraus.
> >
> > Grüße
> > Ronja
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ronja,
> vielen Dank,
>
>
> >
> > zeigen: [mm]f(x)f'(x) +g(x)g'(x) = 0[/mm] für jedes x
> > (siehst Du das ?)
> >
> Ja, das sehe ich. Aber was mache ich damit? Warum
> integrieren?
das ist sicher eine naheliegende Idee, wenn man, für diff'bares $h$, die Gleichung [mm] $\frac{d}{dx}h^2(x)=2*h(x)*h'(x)$ [/mm] bedenkt. (Kettenregel)
Jetzt könntest Du Dich fragen, wozu man hier voraussetzt, dass $f$ und $g$ stetig differenzierbar sind? Die Antwort steht in der Voraussetzung des ![[]](/images/popup.gif) Hauptsatzes:
Bei [mm] $\int [/mm] f(x) [mm] f\!\,'(x)\;dx$ [/mm] sollte [mm] $f*f\!\,'$ [/mm] stetig sein (damit wir den Hauptsatz anwenden können; man muss nur ein bisschen vorsichtig sein, weil da ja ein abgeschlossenes Intervall steht!).
Also mit anderen Worten:
Du kannst auch sagen:
Auf $I$ gilt
[mm] $$f(x)f\,\!'(x)+g(x)g\,\!'(x)=0$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow$$
[/mm]
[mm] $$2f(x)f\,\!'(x)+2g(x)g\,\!'(x)=0\,.$$
[/mm]
Somit muss eine Stammfunktion zu [mm] $2*f*f\!\,'+2*g*g\!\,'$ [/mm] auf $I$ konstant sein, also
[mm] $$f^2(x)+g^2(x)=k\;\;\;(=Konstante) \;\;\; \text{ für alle }x \in [/mm] I$$
Nun erkennst Du mit $f(0)=0$ und [mm] $g(0)=1\,,$ [/mm] dass [mm] $k=1\,.$
[/mm]
P.S.:
Wenn Du die Rechnung genau verfolgst, erkennst Du, dass zu Fred's Rechnung nur ein Unterschied besteht: Bevor ich integriere, habe ich die Gleichung [mm] $f(x)f\,\!'(x)+g(x)g\,\!'(x)=0$ [/mm] auf beiden Seiten mit [mm] $\,2\,$ [/mm] multipliziert. Daher ergibt sich bei mir auch [mm] $k=2c=1\,,$ [/mm] wobei [mm] $\,c\,$ [/mm] das von Fred gewählte [mm] $\,c\,$ [/mm] ist (also [mm] $c\,=\,1/2\,,$ [/mm] wie sich am Ende seiner Rechnung ergibt).
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
