Differenzialrechnung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 So 28.01.2007 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle Punkte der Parabel [mm] y=\bruch{1}{4}(x-2)^{2}+3, [/mm] deren Tangenten durch den Ursprung führen. |
Hallo Leute
Alles was mir zu dieser Aufgabe einfällt ist das folgende (vgl. auch Skizze):
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] t_{1}(x)=ax+b
[/mm]
[mm] t_{2}(x)=cx+d
[/mm]
wobei natürlich b und d einfach 0 sein müssen. Ein einfaches Gleichungssystem kann nicht die Lösung sein, weil ich dafür schlicht zuviel Unbekannte habe. Hat mir jemand von euch einen Tipp?
Danke im Voraus.
Gruss belimo
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo,
deine Darstellung sieht schon gut aus, du weißt, 1. Ableitung gibt den Anstieg an:
[mm] f(x)=\bruch{1}{4}(x-2)^{2}+3
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2}(x-2)
[/mm]
die Tangente genügt der Gleichung y=mx+n, da durch Ursprung, enthält sie den Punkt P(0; 0), als ist n=0
für x=-4 erhälst du (-4; -3) für x=4 erhälst du (4; 1)
du erhälst y=-3x und y=x
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 So 28.01.2007 | | Autor: | belimo |
> Hallo,
>
> deine Darstellung sieht schon gut aus, du weißt, 1.
> Ableitung gibt den Anstieg an:
> [mm]f(x)=\bruch{1}{4}(x-2)^{2}+3[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{1}{2}(x-2)[/mm]
>
> die Tangente genügt der Gleichung y=mx+n, da durch
> Ursprung, enthält sie den Punkt P(0; 0), als ist n=0
>
> für x=-4 erhälst du (-4; -3) für x=4 erhälst du (4; 1)
>
> du erhälst y=-3x und y=x
Hallo Steffi
Stimmt, den "Hauptschritt" mit dem Einsetzen der "Ableitung/Steigung" habe ich verstanden. Nicht ganz nachvollziehen kann ich aber deine Berechnung. Wie kommst du denn genau auf die oben erwähnten Zahlen z.B. x=-4? Danke für die (Nach-)Hilfe 
Gruss belimo
|
|
|
| |
|
Hallo,
du hast die Funktionen:
[mm] f_1(x)=\bruch{1}{4}(x-2)^{2}+3 [/mm] und
[mm] f_2(x)=-3x [/mm] (eine Tangente)
wenn du in beide Funktionen x=-4 einsetzt, erhälst du den Punkt P(-4;12), Tangente und Parabel haben diesen Punkt gemeinsam,
zu Kontrolle, deine 1. Ableitung, also m ist ja [mm] \bruch{1}{2}(x-2), [/mm] setzt du hier x=-4 erhälst du -3,
Gegenbeispiel: setze in [mm] \bruch{1}{2}(x-2) [/mm] x=-2 ein, du erhälst -2, dann würde [mm] f_2(x)=-2x [/mm] lauten, wenn du jetzt in beide Funktionen -4 einsetzt, erhälst du verschieden Punkte, (-4; 8) und (-4; 12),
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 So 28.01.2007 | | Autor: | belimo |
Also, die Kontrolle kann ich Nachvollziehen. Das ganze wird mir sogar ganz klar, dank deiner Grafik (mit welcher Software machst du diese übrigens??).
Was mir aber nicht klar ist:
- Wie kommst du auf [mm] f_2(x)=-3x [/mm] (eine Tangente)
- Warum setzt du genau -4 ein?
Ich meine woher hast du diese Zahl(en)? Klar, sowohl die y=-3x wie auch die -4 scheinen aufgrund der Grafik sehr sinnvoll. Aber angenommen, ich hätte an einer Prüfung weder Taschenrechner, noch PC zur Verfügung? Kannst du mir vielleicht nochmals auf die Sprünge helfen? Danke
> [mm]f_1(x)=\bruch{1}{4}(x-2)^{2}+3[/mm] und
>
> [mm]f_2(x)=-3x[/mm] (eine Tangente)
>
> wenn du in beide Funktionen x=-4 einsetzt, erhälst du den
> Punkt P(-4;12), Tangente und Parabel haben diesen Punkt
> gemeinsam,
|
|
|
| |
|
Hallo,
in der Grafik siehst du, wenn sich Parabel und Tangente schneiden, sind die y-Werte gleich,
[mm] f_1(x)=y_1=\bruch{1}{4}(x-2)^{2}+3
[/mm]
[mm] f_2(x)=y_2=m*x=\bruch{1}{2}(x-2)*x
[/mm]
[mm] y_1=y_2 [/mm] also
[mm] \bruch{1}{4}(x-2)^{2}+3=\bruch{1}{2}(x-2)*x
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}(x^{2}-4x+4)+3=0,5x^{2}-x
[/mm]
[mm] 0,25x^{2}-x+4=0,5x^{2}-x
[/mm]
[mm] 0=0,25x^{2}-4
[/mm]
[mm] 0=x^{2}-16
[/mm]
[mm] x_1=-4
[/mm]
[mm] x_2=4
[/mm]
somit hst du die zwei Schnittstellen, -4 und 4 in f(x) einsetzen, du erhälst die Punkte
[mm] P_1(-4; [/mm] 12), y=mx, 12=m*(-4), m=-3, y=-3x
[mm] P_2(4; [/mm] 4), y=mx, 4=m*4, m=1, y=x
zum runterladen www.funkyplot.de, Version 1.0.2 Windows
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Di 30.01.2007 | | Autor: | belimo |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die quadratische Funktion, deren Kurve durch die Punnkte (-1,3) und (1,7) geht und die Gerade y=6x+1 berührt |
Hallo Steffi
Die letzte Aufgabe habe nun vollumfänglich nachvollziehen können. Ein grosses Danke an dieser Stelle für deine Bemühungen!
Für die oben gestellte Aufgabe habe ich mir nun folgende Gedanken gemacht (s. auch Skizze)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aus den Punktangaben kann ich ja zwei Gleichungen aufstellen:
Allgemein: [mm] y=ax^{2}+bx+c
[/mm]
1. Gleichung (setze Punkt 1 ein): [mm] 3=a(-1)^{2}+b(-1)+c
[/mm]
2. Gleichung (setze Punkt 2 ein): [mm] 7=a(1)^{2}+b(1)+c
[/mm]
Nun habe ich zwei Gleichungen, drei Unbekannte, super. Also nutze ich meine dritte Angabe, die da wäre:
gesuchte Parabel und Tangente berühren sich irgendwo.
Also:
Der y-Wert an einer Stelle ist, ist sowohl für Parabel als auch Tangente derselbe:
[mm] ax^{2}+bx+c=6x+1
[/mm]
Oder:
Die Ableitung der Tangente und Parabel sind an einem bestimmen x, dieselbe:
6(AbleitungderTangente)=2ax+b (Ableitung der Parabel an einer Stelle x
Anscheinend sehe ich nun vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr. Hat mir jemand einen Tip, was ich nun weiter tun muss? Danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Erneut Hallo,
dein Ansatz, die Punkte einzusetzen, völlig korrekt, aber jetzt, es fehlt etwas, kannst du noch einmal in deinen Aufgabentext schauen, der scheint mir nicht vollständig,
Steffi
|
|
|
| |
|
Nochmals Hallöchen,
1. Gleichung: 3=a-b+c, hattest du
2. Gleichung: 7=a+b+c, hattest du
jetzt hast du Recht, wir brauchen eine 3. Gleichung, du hast die Information, im Punkt P(1; 7) berühren sich die Parabel und Tangente, die Tangentengleichung lautet y=6x+1, als ist der Anstieg 6, ebenso muß im Punkt P(1; 7) der Anstieg 6 sein, Anstieg 1. Ableitung: y'=2ax+b, 6=2ax+b, der Punkt P(1; 7) hat x=1, also 6=2*a*1+b, also 6=2a+b, somit
3. Gleichung: 6=2a+b
aus GL 3) b=6-2a
in GL1) 3=a-(6-2a)+c,
3=a-6+2a+c
3=3a-6+c
c=9-3a
jetzt b und c in GL 2) einsetzen
7=a+6-2a+9-3a
7=-4a+15
4a=8
jetzt schaffst du es.........
dann kannst du aufstellen [mm] y=ax^{2}+bx+c
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Di 30.01.2007 | | Autor: | belimo |
Ach du Schande, ich habe gar nicht gemerkt, dass Punkt (1,7) gleichzeitig auch der Berühungspunkt ist. So ist es ja eigentlich recht einfach
Ähm: Wenn jetzt aber statt dem Berühungspunkt ein anderer gegeben wäre, wäre dann die Aufgabe nicht lösbar?
|
|
|
| |
|
Hallöchen,
du brauchst den Berührungspunkt, daraus erhälst du über die Ableitung die Bedingung zum Aufstellen der 3. Gleichung deines Gleichungssystems, ich hoffe du hast alles verstenden, zur Kontrolle nehme ich dann immer den Funktionsplotter von www.funkyplot.de,
Grüße in meine geliebte Schweiz, dieses Jahr will ich nach Arosa,
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Di 30.01.2007 | | Autor: | belimo |
> du brauchst den Berührungspunkt, daraus erhälst du über die
> Ableitung die Bedingung zum Aufstellen der 3. Gleichung
> deines Gleichungssystems, ich hoffe du hast alles
> verstenden,
Doch, ich glaube ich hab's wirklich verstanden Ich habe nämlich noch eine weitere Aufgabe der gleichen Art, so nur ein Punkt, dafür zwei Geraden gegeben sind. Mal schauen ob ich das alleine hinkriege (vermutlich nicht mehr heute). Geb dir dann Bescheid.
zur Kontrolle nehme ich dann immer den
> Funktionsplotter von www.funkyplot.de,
Für die Kontrolle habe ich den Taschenrechner, sowie die Lösung, welche uns der Dozent jeweils abgibt. Ich habe in diesem Tread meine Skizze wieder mit einem "normalen" Grafikprogramm gezeichnet, weil ich dann alles noch anschreiben, und bezeichnen kann Funkyplot ist aber vorgemerkt
> dieses Jahr will ich nach Arosa,
Ich will auch *neidischbin* - Naja, in drei Wochen sind Semesterferien, mal schauen, ein Kurztrip nach Arosa, warum nicht
Danke nochmals und schönen Urlaub.
|
|
|
|
