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Differenzialgleichung: Korrektur einer Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:39 Do 26.10.2006
Autor: Phoney

Aufgabe
Bestimme jeweils die allgemeine Lösung und daraus die spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsbedingungen für die folgende Differentialgleichung 1. Ordnung. Dabei ist a eine Konstante.

[mm] $\br{du}{dt} [/mm] = [mm] \br{a}{u^2}$ $u(\br{1}{a}=1$ [/mm]

Hallo.

Könnt ihr das bitte mal korrigieren:

[mm] $\br{du}{dt} [/mm] = [mm] \br{a}{u^2}$ [/mm] mal [mm] u^2 [/mm] mal dt

[mm] $u^2 [/mm] du =  a dt$

$ [mm] \br{1}{3}u^2 [/mm] = at+C$ mal drei, wurzel

$u(t) = [mm] \wurzel{3at+3C}$ [/mm]

Nun setze ich ein:

[mm] $u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3C} [/mm] = 1$

[mm] $\wurzel{3+3C} [/mm] = 1$ quadriere

3+3c=1 [mm] \rightarrow [/mm] c = [mm] \br{-2}{3} [/mm]

Nun zur Probe:

$u(t) = [mm] \wurzel{3at+3*\br{-2}{3}}$ [/mm]

[mm] $u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3*\br{-2}{3}} [/mm] = [mm] \wurzel{3-2} [/mm] = [mm] \wurzel{1}$ [/mm]

Aber eigentlich ist das ja plusminus eins.

Doch der falsche weg?

Danke!

Gruß
Phoney




        
Bezug
Differenzialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 Do 26.10.2006
Autor: ullim

Hi Phoney,

> Bestimme jeweils die allgemeine Lösung und daraus die
> spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsbedingungen für
> die folgende Differentialgleichung 1. Ordnung. Dabei ist a
> eine Konstante.
>  
> [mm]\br{du}{dt} = \br{a}{u^2}[/mm]     [mm]u(\br{1}{a}=1[/mm]
>  Hallo.
>  
> Könnt ihr das bitte mal korrigieren:
>  
> [mm]\br{du}{dt} = \br{a}{u^2}[/mm] mal [mm]u^2[/mm] mal dt
>  
> [mm]u^2 du = a dt[/mm]
>
> [mm]\br{1}{3}u^2 = at+C[/mm] mal drei, wurzel
>

Die linke Seie muss lauten, [mm] \br{1}{3}u^3. [/mm] damit muss also der Rest nochmal gerechnet werden.

> [mm]u(t) = \wurzel{3at+3C}[/mm]
>  
> Nun setze ich ein:
>  
> [mm]u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3C} = 1[/mm]
>  
> [mm]\wurzel{3+3C} = 1[/mm] quadriere
>  
> 3+3c=1 [mm]\rightarrow[/mm] c = [mm]\br{-2}{3}[/mm]
>  
> Nun zur Probe:
>  
> [mm]u(t) = \wurzel{3at+3*\br{-2}{3}}[/mm]
>  
> [mm]u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3*\br{-2}{3}} = \wurzel{3-2} = \wurzel{1}[/mm]
>  
> Aber eigentlich ist das ja plusminus eins.
>  

Die Probe beinhaltet auch den Nachweis der Gültigkeit der DGL. Bei Deiner Lösung wärst Du dann auf Unstimmigkeiten gestossen. Also nicht nur den Anfangswert kontrollieren.

> Doch der falsche weg?
>  
> Danke!
>  
> Gruß
>  Phoney
>  
>
>  

mfg ullim

Bezug
                
Bezug
Differenzialgleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Do 26.10.2006
Autor: Phoney

Hallo.

> > Bestimme jeweils die allgemeine Lösung und daraus die
> > spezielle Lösung zu den gegebenen Anfangsbedingungen für
> > die folgende Differentialgleichung 1. Ordnung. Dabei ist a
> > eine Konstante.
>  >  
> > [mm]\br{du}{dt} = \br{a}{u^2}[/mm]     [mm]u(\br{1}{a}=1[/mm]
>  >  Hallo.
>  >  
> > Könnt ihr das bitte mal korrigieren:
>  >  
> > [mm]\br{du}{dt} = \br{a}{u^2}[/mm] mal [mm]u^2[/mm] mal dt
>  >  
> > [mm]u^2 du = a dt[/mm]
> >
> > [mm]\br{1}{3}u^2 = at+C[/mm] mal drei, wurzel
>  >

>
> Die linke Seie muss lauten, [mm]\br{1}{3}u^3.[/mm] damit muss also
> der Rest nochmal gerechnet werden.
>  
> > [mm]u(t) = \wurzel{3at+3C}[/mm]
>  >  
> > Nun setze ich ein:
>  >  
> > [mm]u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3C} = 1[/mm]
>  >  
> > [mm]\wurzel{3+3C} = 1[/mm] quadriere
>  >  
> > 3+3c=1 [mm]\rightarrow[/mm] c = [mm]\br{-2}{3}[/mm]
>  >  
> > Nun zur Probe:
>  >  
> > [mm]u(t) = \wurzel{3at+3*\br{-2}{3}}[/mm]
>  >  
> > [mm]u(\br{1}{a}=\wurzel{3a*\br{1}{a}+3*\br{-2}{3}} = \wurzel{3-2} = \wurzel{1}[/mm]
>  
> >  

> > Aber eigentlich ist das ja plusminus eins.
>  >  
>
> Die Probe beinhaltet auch den Nachweis der Gültigkeit der
> DGL. Bei Deiner Lösung wärst Du dann auf Unstimmigkeiten
> gestossen. Also nicht nur den Anfangswert kontrollieren.


Was genau soll das heißen? Welcher Anfangswert? Was muss ich denn noch kontrollieren? Und wie soll ich das machen?

Dankschön!

Gruß  



Bezug
                        
Bezug
Differenzialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:47 Do 26.10.2006
Autor: Event_Horizon

Was er meinte ist, daß du die allgemeine Lösung, also bevor du den Anfangswert einsetzt, mal in die DGL einsetzen sollst. Daran erkennst du, ob die allg. Lösung richtig ist.

Danach setzt du dann den Anfangswert ein, und rechnest so weiter, wie du es getan hast.

Bezug
                                
Bezug
Differenzialgleichung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Do 26.10.2006
Autor: Phoney

Ist es nicht das:

> Was er meinte ist, daß du die allgemeine Lösung, also bevor
> du den Anfangswert einsetzt, mal in die DGL einsetzen
> sollst. Daran erkennst du, ob die allg. Lösung richtig
> ist.

$ u(t) = [mm] \wurzel{3at+3\cdot{}\br{-2}{3}} [/mm] = [mm] \wurzel{3at-2} [/mm] $ ??



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Differenzialgleichung: Kubik-Wurzel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:29 Do 26.10.2006
Autor: Loddar

Hallo Phoney!

Wie weiter oben bereits angedeutet, muss es in der Umformung mal heißen [mm] $\bruch{1}{3}*u^{\red{3}} [/mm] \ = \ ...$

Damit lautet also Deine gesuchte Funktion auch:   $u(t) \ = \ [mm] \wurzel[\red{3}]{3a*t-2}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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Differenzialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:41 Sa 28.10.2006
Autor: Phoney

Achso, ich Schussel.

Na dann ist es jetzt klar.

Vielen Dank euch allen!

Schönes WE wünsche ich euch,

Johann

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