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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Adeno |
Hi,
hab ein Problem mit einer Aufgabe eines Übungsblattes. Geht um Differenzfolgen:
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Ist [mm] a_{0}, a_{1}, a_{2}, [/mm] ... eine Folge reeler Zahlen, so nennt man die Folge
[mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{0} [/mm] , [mm] a_{2} [/mm] - [mm] a_{1} [/mm] , [mm] a_{3} [/mm] - [mm] a_{2}, [/mm] ... ihre (erste) Differenzfolge. Die Differenzfolge der ersten Differenzfolge heißt zweite Differenzfolge usw.
i) Wie lautet die vierte Differenzfolge der Folge [mm] 0^{4}, 1^{4}, 2^{4}, 3^{4}, 4^{4}, 5^{4}, [/mm] ....?
ii) Wie lautet die sechste Differenzfolge der durch [mm] a_{0} [/mm] = 0, [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} k^{4} [/mm] gegebenen Zahlenfolge?
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Nun hatte ich bei den beiden Aufgaben das einfach ausgerechnet und dann hingeschrieben. Aber so soll man es laut Prof nicht machen: Es soll eine "allgemein" gültige Formel gefunden werden. Nur wie?
Ein Ansatz ist: [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] = 1 bei Folgen die 1,2,3,4, ... gehen. Aber die oben angegebene Folge hat ja noch ^4.
Danke für Hinweise
Grüße
Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Di 01.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Adeno
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> Ist [mm]a_{0}, a_{1}, a_{2},[/mm] ... eine Folge reeler Zahlen, so
> nennt man die Folge
> [mm]a_{1}[/mm] - [mm]a_{0}[/mm] , [mm]a_{2}[/mm] - [mm]a_{1}[/mm] , [mm]a_{3}[/mm] - [mm]a_{2},[/mm] ... ihre
> (erste) Differenzfolge. Die Differenzfolge der ersten
> Differenzfolge heißt zweite Differenzfolge usw.
>
> i) Wie lautet die vierte Differenzfolge der Folge [mm]0^{4}, 1^{4}, 2^{4}, 3^{4}, 4^{4}, 5^{4},[/mm]
> ....?
> ii) Wie lautet die sechste Differenzfolge der durch [mm]a_{0}[/mm]
> = 0, [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} k^{4}[/mm] gegebenen Zahlenfolge?
> -------------------------------------------------
Wenn du die Aufgabe allgemein rechnest, also für beliebige [mm] a_{i} [/mm] dann findest du sehr leicht auch für die nte Differenzfolge eine Formel. in die kannst du dann deine speziellen a einsetzen.
0. Ordng [mm] a_{0}.....a_{k}..a_{n}
[/mm]
1. Ordng [mm] a_{1}-a_{0}.....a_{k+1}-a_{k}..........a_{n+1}-a_{n}
[/mm]
2.Ordng [mm] ..........................a_{k+2}-2a_{k+1}+a_{k}
[/mm]
3.Ordng [mm] a_{k+3}-3a_{k+2}+3a_{k+1}-a_{k}
[/mm]
usw. du erkennst hoffentlich die Binomialkoeffizenten wie bei [mm] (a-1)^{3}, [/mm] nur dass statt [mm] a^{3} [/mm] entsprechend [mm] a_{k+3} [/mm] steht. jetzt musst du nur noch überlegen, oder durch vollst Induktion beweisen, dass es wirklich die Binomialkoefizienten sind.
Gruss leduart
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