Differenzengleichungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Di 07.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
Moin. Ich habe hier eine etwas kniffelige Aufgabe...
Es sei IK = [mm] \IR [/mm] oder IK = [mm] \IC. [/mm] Weiter seien [mm] a_{1},...,a_{k} \in [/mm] IK und [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{k} \in [/mm] IK seien paarweise verschiedene Nullstellen des Polynoms
[mm] t^{k} [/mm] + [mm] a_{1}t^{k-1} [/mm] + ... + [mm] a_{k-1}t [/mm] + [mm] a_{k} [/mm] = 0
Dann ist
[mm] (\lambda_{i}^{n})_{n=0 \to \infty} [/mm] | i = 1,...,k
eine Basis des Vektorraumes der Lösungen der Differenzengleichung
[mm] x_{n} [/mm] + [mm] a_{1}x_{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{k}x_{n-k} [/mm] = 0 n [mm] \ge [/mm] k
(Der Lösungsraum ist ein Teilraum de Vektorraumes aller unendlicher Folgen)
Beweise obige Behauptungund finde die Lösung der Differenzengleichung
[mm] x_{n} [/mm] + [mm] 2x_{n-1} [/mm] - [mm] 3x_{n-2} [/mm] = 0
mit [mm] x_{0} [/mm] = 1 und [mm] x_{1} [/mm] = 0.
Ich hab irgendwie das Gefühl, dass das mind. 3 Aufgaben in einer sind...
Aber vor allem find ich nicht wirklich nen Ansatz, was man da jetzt machen / zeigen könnte.
Wir hatten bis jetzt nur einmal eine Aufgabe mit ner Differenzengleichung gelöst, da haben wir das irgendwie mit Diagonalmatrixen gemacht und [mm] A^{n} [/mm] = P [mm] D^{n} P^{-1}
[/mm]
gelöst, womit man dann irgendwie weiterkam.. aber hier bin ich recht ratlos, kann mir jemand sagen, wie ich am besten anfangen sollte ?
|
|
| |
|
Hallo!
Mach folgendes: Setze die Folge [mm] $x_n:=\lambda_i^n$ [/mm] in deine Gleichung ein. Dann kann man zeigen, dass die Gleichung erfüllt ist.
Da du $k$ solche Folgen hast, die linear unabhängig sind (weil die [mm] $\lambda_i$ [/mm] verschieden sind), hast du einen $k$-dimensionalen Lösungsraum gefunden. Weil deine Gleichung vom Grad $k$ ist, hat der Lösungsraum höchstens Dimension $k$. Also hast du alle Lösungen gefunden.
Kommst du damit weiter?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Do 09.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
Hm.... naja son bischen hab ich das soweit verstanden, mir ist nur zum einen die Verbindung von dem Polynom und der Differenzengleichung nicht ganz klar und zum anderen weiß ich auch nicht, was diese zweite Differenzengleichung nun wieder damit zu tun hat... Oder stellt die einfach ne ganz andere Aufgabe dar ?
und zum ersten Teil nochmal: Wenn ich für x jeweils [mm] \lambda_{i}^{n} [/mm] einsetze, erhalte ich ja sozusagen das obere Polynom, in dem für t jeweils [mm] \lambda_{i} [/mm] eingesetzt wurde, und da ich weiß, dass die [mm] \lambda [/mm] Nullstellen des Polynoms sind habe ich die Aussage bewiesen, dass die [mm] \lambda_{i}^{n} [/mm] Lösungen der Differenzengleichung sind ?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Hm.... naja son bischen hab ich das soweit verstanden, mir
> ist nur zum einen die Verbindung von dem Polynom und der
> Differenzengleichung nicht ganz klar und zum anderen weiß
> ich auch nicht, was diese zweite Differenzengleichung nun
> wieder damit zu tun hat... Oder stellt die einfach ne ganz
> andere Aufgabe dar ?
Das ist im Prinzip eine Anwendung des Satzes, den du oben beweist: Jetzt ist $k=2$, [mm] $a_1=2,\ a_2=-3$.
[/mm]
Du bekommst dann zwei linear unabhängige Lösungen. Diese musst du so kombinieren, dass die Anfangsbedingungen erfüllt sind...
> und zum ersten Teil nochmal: Wenn ich für x jeweils
> [mm]\lambda_{i}^{n}[/mm] einsetze, erhalte ich ja sozusagen das
> obere Polynom, in dem für t jeweils [mm]\lambda_{i}[/mm] eingesetzt
> wurde, und da ich weiß, dass die [mm]\lambda[/mm] Nullstellen des
> Polynoms sind habe ich die Aussage bewiesen, dass die
> [mm]\lambda_{i}^{n}[/mm] Lösungen der Differenzengleichung sind ?
Genau!
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Do 09.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
hm, kann es irgendwie sein, dass das ganze nur für n = k gilt ?
weil sonst bekommt man bei der Differenzengleichung am Ende doch nicht
.... + [mm] a_{k} [/mm] sondern ... + [mm] a_{k}\lambda^{n-k}
[/mm]
nur in der Bedingung steht ja nur: n [mm] \ge [/mm] k
|
|
|
| |
|
Hallo!
Versuch mal, [mm] $\lambda^{n-k}$ [/mm] auszuklammern...
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Sa 11.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
hm, wenn ich [mm] \lambda^{n-k} [/mm] ausklammere erhalte ich doch:
[mm] \lambda^{n} [/mm] + [mm] a_{1}\lambda^{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{k}\lambda^{n-k} [/mm] = [mm] \lambda^{n-k}(\lambda^{k} [/mm] + [mm] a_{1}\lambda^{k-1} [/mm] + ... + [mm] a_{k})
[/mm]
hilft das einem weiter ?
Sonst hab ich den oberen Teil soweit verstanden, ich hab nur Probleme, das jetzt bei der Lösung da unten anzuwenden, vor allem weiß ich nicht, wie ich die Bedingungen [mm] x_{0} [/mm] = 1 und [mm] x_{1} [/mm] = 0 einbauen soll.. Kann mir jemand nochmal kurz erläutern, wie ich hier weiter vorgehen kann ?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Cadavre |
Ok, ich beantworte mal nur deine erste Frage:
Die zweite Klammer ist ja nach Voraussetzung für [mm] \lambda_{i} [/mm] gleich 0. Also ist der Lösungsraum die Lösung für die Gleichung.
Wir können so nur noch nicht beweisen, dass das die einzige Lösung ist.
Checkst du das?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 11.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
hm, wie auch immer, aber hauptsächlich liegt das Problem jetzt noch da, die zweite Differenzengleichung zu lösen... Wie kann man da rangehen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 So 12.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
hm, ich glaub die untere Differenzengleichung hab ich jetzt geschafft zu lösen, diese Frage hat sich also erledigt...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Sa 11.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
hier ist mir auch grad nochmal ein Problem eingefallen: Die Gleichung ist doch nicht vom Grad k sondern vom Grad n oder ? und n [mm] \ge [/mm] k
Und gibt es dann nicht n Lösungen, von denen man nur k gefunden hat ?
Oder hab ich jetzt irgendwo einen Denkfehler drin ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 So 12.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
Da ist mir auch grad die Erleuchtung gekommen, diese Frage hat sich also auch erledigt
|
|
|
|
