Differenzengleichung 3. Ord. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo mathe-wissende,
nachdem ich nun mit differenzengleichungen 1.+2. ordnung dank formelsammlung und bücher ganz gut zurechtkomme, habe ich meinen meister offensichtlich in den diff.gleichungen n-ter ordung gefunden.
könnt ihr mir ein paar tipps geben? ich hab weder im netz noch in meinen büchern was gefunden :(
hier die aufgabe dich ich versuche zu lösen:
[mm] y_{n}+y_{n-1}-y_{n-2}-y_{n-3}=0 [/mm] , [mm] y_{0} [/mm] = 2, [mm] y_{1} [/mm] = -1, [mm] y_{2} [/mm] = 3
ich habe die indizes umgeformt in:
[mm] y_{n+3}+y_{n+2}-y_{n+1}-y_{n}=0
[/mm]
nun weiter bin ich mit meiner weisheit nicht gekommen...
würde mich über jede hilfe/tip freuen, danke schon mal!
thomas
PS: hab die frage in keinem anderen forum gepostet
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Hallo crossconnexion,
für die Lösung einer lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten stellst du zunächst das sogenannte charakteristische Polynom auf, in diesem Fall [mm] x^3+x^2-x-1=0 [/mm] .
Davon bestimmst du die Nullstellen. -1 und 1 erkennt man durch hinsehen als Nullstellen, durch Polynomdivision sieht man, dass -1 eine doppelte Nullstelle ist. Und jetzt sind's eigentlich nur noch Formeln:
Die sog. allgemeine Lösung lautet:
[mm] y_n=a(-1)^n+bn(-1)^n+c 1^n [/mm] .
Wäre z.B. -1 dreifache Nullstelle, so wären die Basislösungen [mm] (-1)^n, n(-1)^n, n^2(-1)^n [/mm] .
Jetzt brauchst du deine Anfangswerte, um die richtige Lösung zu errechnen:
(I) [mm] y_0=a+c=2
[/mm]
(II) [mm] y_1=-a-b+c=-1
[/mm]
(III) [mm] y_2=a+2b+c=3
[/mm]
Aus (II)-(I) folgt [mm] b=\bruch{1}{2}, [/mm] und dann [mm] a=\bruch{5}{4}, c=\bruch{3}{4}.
[/mm]
Weiteres dazu findet sich in jedem ordentlichen Buch über Differenzengleichungen. Eine (Standard-)Referenz:
S.Elaydi, An Introduction to Difference Equations, Springer, 1999.
Ich hoffe, dass dir das weiter hilft!
banachella
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hallo banachella,
danke für deine antwort! werde es mir gleich mal durchdenken :)
ciao
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