Differentiation und Umkehrfkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (a) Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f(x)=tanx , [mm] x\in(\bruch{-\pi}{2} [/mm] , [mm] \bruch{\pi}{2}).
[/mm]
(b) Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{e}x*lnx [/mm] mit dem Defintionsbereich [mm] D_{f}=[\bruch{1}{e} [/mm] , [mm] \infty]. [/mm] Berechnen Sie die erste Ableitung der Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] im Punkt [mm] x_{0}=1 [/mm] |
(a) keine ahnung was die umkehrfunktion von tanx ist, nur dass es arctan gibt ::(
(b) hier ist nur die produktregel in gebrauch oder?
was ist mit dem [mm] x_{0} [/mm] gemeint? muss ich die ableitung bilden und diesen wert einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 Di 02.02.2010 | | Autor: | chrisno |
> (a) keine ahnung was die umkehrfunktion von tanx ist, nur
> dass es arctan gibt ::(
Da muss ich zurückfragen: Was ist für Dich eine Umkehrfunktion?
>
> (b) hier ist nur die produktregel in gebrauch oder?
> was ist mit dem [mm]x_{0}[/mm] gemeint? muss ich die ableitung
> bilden und diesen wert einsetzen?
Ich würde sagen, Du besorgst Dir zuerst den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion. Dann wenden wir ihn bei Aufgabe a) an.
Zu b) Du benötigst die Ableitung der Umkehrfunktion. Es kann gut sein, dass dabei die Produktregel benötigt wird. Das werden wir dann sehen. Das [mm]x_{0}=1[/mm] hast Du richtig verstanden. Vielleicht tritt bei der Ausführung noch eine kleine Schwierigkeit auf.
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(a) wenn die umkehrfkt. von tanx arctan ist, dann ist die ableitung von f(x)=arctan --> [mm] f'(x)=1/1+x^{2} [/mm] für [mm] x\in\IR [/mm] aber ich brauche für [mm] x\in(-pi/2 [/mm] , pi/2). zudem wie kommt man überhaupt von f(x)=arctan nach f ', ich meine damit die herleitung?
(b) ???
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> (a) wenn die umkehrfkt. von tanx arctan ist, dann ist die
> ableitung von f(x)=arctan --> [mm]f'(x)=1/1+x^{2}[/mm] für [mm]x\in\IR[/mm]
> aber ich brauche für [mm]x\in(-pi/2[/mm] , pi/2). zudem wie kommt
> man überhaupt von f(x)=arctan nach f ', ich meine damit
> die herleitung?
>
> (b) ???
Hi!
Der Witz ist, dass man die Herleitung mithilfe von tan und arctan hinbekommt.
Die Formel lautet: $ [mm] \left(f^{-1}(y)\right)'=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} [/mm] $
Du setzt $ [mm] \tan [/mm] x:=f(x) $, die Ableitung ist bekanntermaßen $ [mm] f'(x)=1+\tan^2x [/mm] $. Du weißt, dass $ [mm] \arctan [/mm] x $ die Umkehrfunktion ist. Nun einsetzen. Desweiteren weißt du, dass der Wertebereich von $ [mm] \arctan [/mm] x $ gerade $ [mm] \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) [/mm] $ ist. Somit hast du alles, was du brauchst.
Bei b) bin ich auch gerade überfragt.
Grüße, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Mi 03.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> (a) wenn die umkehrfkt. von tanx arctan ist, dann ist die
> ableitung von f(x)=arctan --> [mm]f'(x)=1/1+x^{2}[/mm] für [mm]x\in\IR[/mm]
> aber ich brauche für [mm]x\in(-pi/2[/mm] , pi/2). zudem wie kommt
> man überhaupt von f(x)=arctan nach f ', ich meine damit
> die herleitung?
>
> (b) ???
Es ist f(e) = 1 = [mm] x_0, [/mm] somit ist [mm] $(f^{-1})'(1) [/mm] = 1/f'(e)$
FRED
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