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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Do 20.04.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(a|y) mit a > 0.
f(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm] +x |
Hier erstmal mein Ansatz :
f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] +x
ms= f(a+h)-f(a)/h
= ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] +a+h)-( [mm] \wurzel{a} [/mm] +a)/h
So nun habe ich Probleme denn egal was ich machen würde, klappt irgendwie nicht. Wenn ich z.B. den Bruch erweitere um dann h auszuklammern um es zu kürzen bleibt immer noch ein h über ich weiß wirklich nicht mehr was ich machen soll :(
Bsp :
= ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] +a+h - [mm] \wurzel{a} [/mm] +a) ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] +a+h + [mm] \wurzel{a} [/mm] +a) /h ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] +a+h + [mm] \wurzel{a} [/mm] +a)
= a+h+a²+h²-a-a²/h ( [mm] \wurzel{a+h} [/mm] +a+h + [mm] \wurzel{a} [/mm] +a)
Wenn ich nun das h rauskürze würde ich das erhalten :
= 2h/ [mm] \wurzel{a+h} [/mm] +a+h + [mm] \wurzel{a} [/mm] +a
Aber wie dann weiter?
Irgendwie verstehe ich das ganze nicht so richtig.
Wäre lieb wenn mir das jemand mal von vorn bis hinten erklären könnte, damit mein Mathe Lehrer morgen nicht meckert :(
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Hallo Kristof!
Zerlege nach dem ersten Schritt den Bruch in zwei einzelne Brüche:
$f'(a) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{a+h}+a+h-\wurzel{a}-a}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{a+h}-\wurzel{a}}{h}+\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a+h-a}{h}$
[/mm]
Der 2. Ausdruck sollte ja nun kein größeres Problem mehr darstellen, oder? 
Den ersten Ausdruck mal mit dem Term [mm] $\left( \ \wurzel{a+h} \ \red{+} \ \wurzel{a} \ \right)$ [/mm] erweitern (Stichwort: 3. binomische Formel).
Dann kannst Du nach dem Zusammenfassen im Zähler gleich die Grenzwertbetrachtung für [mm] $h\rightarrow [/mm] 0$ durchführen und bist fertig.
Gruß vom
Roadrunner
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