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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 16.10.2007 | | Autor: | lexl77 |
| Aufgabe | x'=2x-y+z
y'=3x+z
z'=x+y |
Grüß euch!
Ich hänge bei einem Differentialgleichungssystem, bei welchem ich die homogene Lösung finden will. Dazu muss ich ja alle Eigenvektoren bestimmen. Habe nun zur Berechnung derselben die Nullstellen von det[A-lambda*E) berechnet. Es ergeben sich eine Nullstelle 1.Ordnung und eine Nullstelle 2.Ordnung. Zwei Eigenvektoren habe ich jetzt problemlos ausgerechnet, aber wie bekomme ich den 3.Eigenvektor??
Vielen Dank im Voraus
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> x'=2x-y+z
> y'=3x+z
> z'=x+y
> Grüß euch!
> Ich hänge bei einem Differentialgleichungssystem, bei
> welchem ich die homogene Lösung finden will. Dazu muss ich
> ja alle Eigenvektoren bestimmen. Habe nun zur Berechnung
> derselben die Nullstellen von det[A-lambda*E) berechnet. Es
> ergeben sich eine Nullstelle 1.Ordnung und eine Nullstelle
> 2.Ordnung. Zwei Eigenvektoren habe ich jetzt problemlos
> ausgerechnet, aber wie bekomme ich den 3.Eigenvektor??
Hallo,
Du bekommst ihn gar nicht, denn es gibt diesen dritten Eigenvektor, den Du suchst, nicht.
Der Eigenraum zum Eigenwert 1 hat lediglich die Dimension 1, also kannst Du keinen von den bereits gefundenen Eigenvektoren linear unabhängigen mehr bekommen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 16.10.2007 | | Autor: | lexl77 |
Ist es nicht so, dass wenn ich 3 Nullstellen bekomme genausoviele Eigenvektoren berechnen muss. Mir ist gesagt worden, dass wenn ich eben wie in meinem Bsp 1 Nullstelle 1. Ordng und 1 Nullstelle 2. Ordnung habe (also eine doppelte Nullstelle) dann muss ich den 3 EV aus den vorigen 2 EV's herleiten! Oder nicht?
Nochmals Danke,
mfg Alex
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> Ist es nicht so, dass wenn ich 3 Nullstellen bekomme
> genausoviele Eigenvektoren berechnen muss. Mir ist gesagt
> worden, dass wenn ich eben wie in meinem Bsp 1 Nullstelle
> 1. Ordng und 1 Nullstelle 2. Ordnung habe (also eine
> doppelte Nullstelle) dann muss ich den 3 EV aus den vorigen
> 2 EV's herleiten! Oder nicht?
Hallo,
die Bedürfnisse, die man beim Lösen von Differentialgleichungen bzgl. der Eigenvektoren entwickelt, sind mir nicht geläufig.
Es ist so, wie ich gesagt habe: einen 3. linear unabhängigen Eigenvektor kannst Du nicht mehr finden.
Es ist aber jedes Vielfache des Eigenvektors zu 1 auch ein Eigenvektor, vielleicht nützt Dir das.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Di 16.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
ich denke hier wird nach einem dritten vektor für eine jordan-basis gesucht um dann mithilfe des matrixexponentials ein fundamentalsystem des differentialgleichungsystems zu suchen, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
zur sache: da hier kein weiterer linear unabhängiger eigenvektor gefunden werden kann, muss man nach einem verktor für die jordan-basis suchen, in diesem fall einen vektor $w$, welcher die gleichung $Aw = 1 [mm] \cdot [/mm] w + [mm] v_1$ [/mm] erfüllt, wobei [mm] $v_1$ [/mm] ein eigenvektor zum eigenwert $1$ ist. damit hat man dann eine basis aus den beiden eigenvektoren und dem oben bestimmten vektor $w$ bezüglich derer die matrix jordan-normalform hat und man kann ähnlich wie bei diagonalmatrizen weiterrechnen. eine warnung noch am rande: das oben genannte verfahren zur bestimmung einer jordan-basis funktioniert genau dann, wenn die dimension des eigenraumes gleich $1$ ist, ansonsten kann dieses verfahren versagen und man muss auf haupträume zurückgreifen.
grüße
andreas
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