Differentialgleichungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 So 02.06.2013 | | Autor: | xsuernx |
| Aufgabe | a) Bestimmen Sie die allgemeine komplexe und die allgemeine reelle Lösung des Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen
[mm] $y'(x)=A_y(x)$
[/mm]
mit
[mm] $A=\begin{pmatrix}
-1 & -1 \\
4 & -1
\end{pmatrix}.
[/mm]
b) Bestimmen sie die reelle Lösung zu dem Anfangswert [mm] $y(0)=\begin{pmatrix}
2 \\ 2
\end{pmatrix} [/mm] |
Wie muss ich vorgehen?
Ist es die selbe vorgehensweise wie bei der bestimmung einen Fundamentalsystemes?
also Eigenwerte der Matrix A
dann Eigenvektoren
die Eigenvektoren in eine Matrix schreiben, welche dann das Fundamentalsystem ist?
was wäre dann dabei allgemein komplex und allgemein reell?
MFG Sören
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Hallo xsuernx,
> a) Bestimmen Sie die allgemeine komplexe und die allgemeine
> reelle Lösung des Systems gewöhnlicher
> Differentialgleichungen
> [mm]y'(x)=A_y(x)[/mm]
> mit
> [mm]$A=\begin{pmatrix}
-1 & -1 \\
4 & -1
\end{pmatrix}.[/mm]
>
> b) Bestimmen sie die reelle Lösung zu dem Anfangswert
> [mm]$y(0)=\begin{pmatrix}
2 \\ 2
\end{pmatrix}[/mm]
> Wie muss ich vorgehen?
> Ist es die selbe vorgehensweise wie bei der bestimmung
> einen Fundamentalsystemes?
> also Eigenwerte der Matrix A
> dann Eigenvektoren
> die Eigenvektoren in eine Matrix schreiben, welche dann
> das Fundamentalsystem ist?
Ja, genau so ist es.
> was wäre dann dabei allgemein komplex und allgemein
> reell?
Bei komplexen Eigenwerten erhältst Du zunächst die komplexe Lösung.
Durch geschickte Wahl der Konstanten erhältst Du die reelle Lösung.
>
> MFG Sören
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 03.06.2013 | | Autor: | xsuernx |
> Hallo xsuernx,
>
> > a) Bestimmen Sie die allgemeine komplexe und die allgemeine
> > reelle Lösung des Systems gewöhnlicher
> > Differentialgleichungen
> > [mm]y'(x)=A_y(x)[/mm]
> > mit
> > [mm]$A=\begin{pmatrix}
-1 & -1 \\
4 & -1
\end{pmatrix}.[/mm]
> >
> > b) Bestimmen sie die reelle Lösung zu dem Anfangswert
> > [mm]$y(0)=\begin{pmatrix}
2 \\ 2
\end{pmatrix}[/mm]
> > Wie muss ich vorgehen?
> > Ist es die selbe vorgehensweise wie bei der bestimmung
> > einen Fundamentalsystemes?
> > also Eigenwerte der Matrix A
> > dann Eigenvektoren
> > die Eigenvektoren in eine Matrix schreiben, welche dann
> > das Fundamentalsystem ist?
>
>
> Ja, genau so ist es.
>
>
> > was wäre dann dabei allgemein komplex und allgemein
> > reell?
>
>
> Bei komplexen Eigenwerten erhältst Du zunächst die
> komplexe Lösung.
> Durch geschickte Wahl der Konstanten erhältst Du die
> reelle Lösung.
>
>
> >
> > MFG Sören
>
>
> Gruss
> MathePower
>
Okay also ich habe angefangen
[mm] $A=\begin{pmatrix}
-1 & -1 \\
4 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
dann ist es ja
[mm] $det\begin{pmatrix}
-1-C & -1 \\
4 & -1-C
\end{pmatrix}
[/mm]
=$-1-C*-1-C-(-1)*4$
also
[mm] $C^2+2C+1%
[/mm]
da bekomme ja jetzt für $C=-1$ heraus und keinen komplexen eigenwert...
ist das richtig? und was wäre dann die Komplexe Lösung?
MFG
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Hallo xsusernx,
> > Hallo xsuernx,
> >
> > > a) Bestimmen Sie die allgemeine komplexe und die allgemeine
> > > reelle Lösung des Systems gewöhnlicher
> > > Differentialgleichungen
> > > [mm]y'(x)=A_y(x)[/mm]
> > > mit
> > > [mm]A=\begin{pmatrix}
-1 & -1 \\
4 & -1
\end{pmatrix}.[/mm]
> > >
> > > b) Bestimmen sie die reelle Lösung zu dem Anfangswert
> > > [mm]y(0)=\begin{pmatrix}
2 \\ 2
\end{pmatrix}[/mm]
> > > Wie muss ich vorgehen?
> > > Ist es die selbe vorgehensweise wie bei der
> bestimmung
> > > einen Fundamentalsystemes?
> > > also Eigenwerte der Matrix A
> > > dann Eigenvektoren
> > > die Eigenvektoren in eine Matrix schreiben, welche
> dann
> > > das Fundamentalsystem ist?
> >
> >
> > Ja, genau so ist es.
> >
> >
> > > was wäre dann dabei allgemein komplex und allgemein
> > > reell?
> >
> >
> > Bei komplexen Eigenwerten erhältst Du zunächst die
> > komplexe Lösung.
> > Durch geschickte Wahl der Konstanten erhältst Du die
> > reelle Lösung.
> >
> >
> > >
> > > MFG Sören
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> >
> Okay also ich habe angefangen
> [mm]A=\begin{pmatrix}
-1 & -1 \\
4 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
> dann ist es ja
> [mm]det\begin{pmatrix}
-1-C & -1 \\
4 & -1-C
\end{pmatrix}[/mm]
> =[mm]-1-C*-1-C-(-1)*4[/mm]
Boah, ist das grausam!
Setze mal Klammern, es gilt doch wohl Punkt- vor Strichrechnung.
Die Determinante ist [mm] $(-1-C)\cdot{}(-1-C)-((-1)\cdot{}4)=(-1-C)^2+4=C^2+2C+1+4=C^2+2C+5$
[/mm]
> also
??
Wie "also"?
> [mm]C^2+2C+1%[/mm]
> da bekomme ja jetzt für [mm]C=-1[/mm] heraus und keinen komplexen
> eigenwert...
> ist das richtig?
Nein!
> und was wäre dann die Komplexe Lösung?
Die erhältst du, wenn du richtig rechnest ...
> MFG
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 03.06.2013 | | Autor: | xsuernx |
Ah hatte die 4übersegen
Tut mir leid für die Unübersichtlichkeit mache das nebenher auf der Arbeit und poste mit dem handy
Habe jetzt $ [mm] C_1=-1+2i [/mm] , [mm] C_2=-1-2i [/mm] $
Um an die Eigenwerte zu kommen
$ [mm] A-(C_1*E_1) [/mm] $
[mm] \begin{pmatrix}-1 & -1 \\4 & -1\end{pmatrix}- (-1+2i)\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}
[/mm]
Daraus käme
[mm] \begin{pmatrix}2i & -1 \\4 & 2i\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] $2ix_1-x_2=0 [/mm] $
[mm] $4x_1-2ix_2=0 [/mm] $
Ist das wenigstens mal richtig?
Wie soll ich denn jetzt weiter machen?
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Hallo xsuernx,
> Ah hatte die 4übersegen
> Tut mir leid für die Unübersichtlichkeit mache das
> nebenher auf der Arbeit und poste mit dem handy
> Habe jetzt [mm]C_1=-1+2i , C_2=-1-2i[/mm]
> Um an die Eigenwerte zu
> kommen
> [mm]A-(C_1*E_1)[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}-1 & -1 \\4 & -1\end{pmatrix}- (-1+2i)\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}[/mm]
>
> Daraus käme
> [mm]\begin{pmatrix}2i & -1 \\4 & 2i\end{pmatrix}[/mm]
>
Das muss so lauten:
[mm]\begin{pmatrix}\blue{-}2i & -1 \\4 & \blue{-}2i\end{pmatrix}[/mm]
> [mm]2ix_1-x_2=0[/mm]
> [mm]4x_1-2ix_2=0[/mm]
> Ist das wenigstens mal richtig?
> Wie soll ich denn jetzt weiter machen?
>
Eine nichttriviale Lösung des richtigen Gleichungssystems bestimmen.
Gruss
MathePower
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