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(Frage) überfällig  | | Datum: | 03:09 Sa 31.10.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | Definieren Sie eine Funktion f derart, dass sich folgende Differentialgleichungen in die Form y'(x)=f(x,y(x)) schreiben lassen und untersuchen Sie f auf Lipschitzstetigkeit in y.
a) [mm] (1-x^2)y' [/mm] - xy + 1 = 0, |x|<1
b)x'' + 5x' + 2x = cos(t)
c) [mm] \begin{cases} y_1' = -y_1 + \frac{1}{x} y_2 \\ y_2' = (1 - x)y_1 + y_2 \end{cases} [/mm] x>0
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Hallo.
Ich bin mir bei meinen Lösungsansätzen nicht sicher:
zu a)
y'(x) = f(x,y(x)) = [mm] \frac{xy(x)-1}{1-x^2}
[/mm]
Lipschitzstetigkeit erfüllt, denn:
[mm] |f(x,y_1(x))-f(x,y_2(x))|=...=|\frac{x}{1-x^2}||y_1(x)-y_2(x)|. [/mm] definiere Lipschitzkonstanze L:= [mm] sup\{|\frac{x}{1-x^2}\} [/mm] , |x|<1
geht das so?
zu b)
Rückführung auf Dgl 1. Ordnung:
[mm] y_1(t):=x(t)
[/mm]
[mm] y_2(t):=x'(t)
[/mm]
F(t,x(t),x'(t)):=x''(t)
Dann ist [mm] y'(t)=f(t,y(t))=\vektor{y_2(t)\\F(t,y_1(t),y_2(t)}
[/mm]
wenn ich hier auf Lipschitzstetigkeit überprüfen will, kommen sehr lange Terme raus und ich finde die Verbindung nicht:
[mm] $$|f(t,\overline{y}(t))-f(t,\tilde y(t))|=\sqrt{(\overline{y}_2(t)-\tilde y_2(t))^2+(-5\overline{y}_2(t)-2 \overline{y}_1(t)+5 \tilde y_2(t) + 2 \tilde y_1(t))^2}= ...?????....\le L*|\overline{y}(t) [/mm] - [mm] \tilde [/mm] y(t)|$$
wie geht das?
zu c)
[mm] y'(x)=f(x,y(x))=\vektor{-y_1(x)+\bruch{1}{x}y_2(x)\\(1-x)y_1(x)+y_2(x)}
[/mm]
stimmt das? wie geht das hier mit der Lipschitzstetigkeit?
grüße, moerni
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 So 01.11.2009 | | Autor: | moerni |
ich bin jetzt völlig verwirrt. Ich rechne schon ewig an der a) rum und komme jetzt zu dem Ergebnis, dass die Lipschitzkonstante:
> definiere Lipschitzkonstante L:= [mm]sup\{|\frac{x}{1-x^2}\},[/mm]
> |x|<1
gar nicht beschränkt ist, weil sie für |x| [mm] \to [/mm] 1 gegen unendlich geht. Ist dann f also doch nicht Lipschitzstetig in y??
Über eine Antwort zu meinen Fragen wäre ich sehr sehr dankbar,
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 02.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> ich bin jetzt völlig verwirrt. Ich rechne schon ewig an
> der a) rum und komme jetzt zu dem Ergebnis, dass die
> Lipschitzkonstante:
> > definiere Lipschitzkonstante L:=
> [mm]sup\{|\frac{x}{1-x^2}\},[/mm]
> > |x|<1
> gar nicht beschränkt ist, weil sie für |x| [mm]\to[/mm] 1 gegen
> unendlich geht. Ist dann f also doch nicht Lipschitzstetig
> in y??
Ja, f ist auf dem Streifen $(-1,1) [mm] \times \IR$ [/mm] nicht Lipschitzstetig bezügl. y.
So was soll vorkommen.
FRED
> Über eine Antwort zu meinen Fragen wäre ich sehr sehr
> dankbar,
> moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mo 02.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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