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| Aufgabe | Gegeben sei die Differenzialgleichung:
[mm] yy'=(1+y^2)(1+x^2)x
[/mm]
a) für welche (x0,y0) besitzt das Anfangswertproblem y(x0)=y0 eine Lösung
b) Lösen Sie das Anfangswertproblem mit y(1)=2
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Hallo,
Ich habe leider keine besondere Ahnung, was diese Gleichungen betrifft.
Mein Ansatz wäre:
zu a) ich habe zunächst einmal die Gleichung umgeformt und erhalten:
[mm] y'=((1/y)+y)*(x+x^3)
[/mm]
da y im Nenner steht, darf es ja nicht 0 sein. gibt es für alle Werte bei denen y ungleich 0 ist und für alle x eine Lösung????
zu b) Nachdem ich y' durch dy/dx ersetzt habe, habe ich versucht die Gleichung wieder umzustellen:
[mm] \integral_{a}^{b}{1/(1/y+y) dy}=\integral_{a}^{b}{(x+x^3) dx}
[/mm]
Jetzt komme ich leider nicht weiter. Wie kann ich das Anfangswertproblem lösen???
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 So 12.07.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> Gegeben sei die Differenzialgleichung:
> [mm]yy'=(1+y^2)(1+x^2)x[/mm]
> a) für welche (x0,y0) besitzt das Anfangswertproblem
> y(x0)=y0 eine Lösung
> b) Lösen Sie das Anfangswertproblem mit y(1)=2
>
> Hallo,
>
> Ich habe leider keine besondere Ahnung, was diese
> Gleichungen betrifft.
>
> Mein Ansatz wäre:
> zu a) ich habe zunächst einmal die Gleichung umgeformt
> und erhalten:
>
> [mm]y'=((1/y)+y)*(x+x^3)[/mm]
>
> da y im Nenner steht, darf es ja nicht 0 sein. gibt es für
> alle Werte bei denen y ungleich 0 ist und für alle x eine
> Lösung????
>
> zu b) Nachdem ich y' durch dy/dx ersetzt habe, habe ich
> versucht die Gleichung wieder umzustellen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{1/(1/y+y) dy}=\integral_{a}^{b}{(x+x^3) dx}[/mm]
>
> Jetzt komme ich leider nicht weiter. Wie kann ich das
> Anfangswertproblem lösen???
[mm]yy'=(1+y^2)(1+x^2)x[/mm]
[mm] $\int \frac{y}{1+y^2} \;dy [/mm] = [mm] \int (x+x^3)\;dx$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{2}*ln|1+y^2|=\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}+C'$
[/mm]
[mm] $ln|1+y^2|=x^2+\frac{x^4}{2}+C$
[/mm]
y(1)=2
ln(5)=1,5+C
C=ln(5)-1,5
spezielle Lösung:
[mm] $ln|1+y^2|=x^2+\frac{x^4}{2}+ln(5)-1,5$
[/mm]
> Vielen Dank
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 So 12.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du im Integral
[mm] y/(1+y^2) [/mm] stehen laesst ist es doch leicht zu integrieren?
(im Zaehler steht fast die Ableitung des nenners.
entweder Anfangsbed als Untergrenze der Integrale, oder mit allg. integral und konstante, die dann durch die anfbed. bestimmen.
Gruss leduart
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