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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mi 27.05.2009 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden DGL:
[mm] x*y'-y=x*\cot(\bruch{y}{x}) [/mm] |
Also :
[mm] x*y'-y=x*\cot(\bruch{y}{x})
[/mm]
[mm] \gdw y'=\cot(\bruch{y}{x})+\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] u=\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] y=u*x
[mm] \Rightarrow [/mm] y'=u'*x+u
[mm] u'*x+u=\cot(u)+u
[/mm]
[mm] \gdw u'=\cot(u)*\bruch{1}{x}
[/mm]
Trennung der Variablen:
[mm] \bruch{du}{dx}=\cot(u)*\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \to \integral_{}^{}{\tan(u) du}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
[mm] \to [/mm] -ln(|cos(u)|)=ln(|x|)+c
so ab jetzt wirds unklar:
[mm] \to [/mm] ln(|cos(u)|)=-ln(|x|)+c
[mm] \to |cos(u)|=\bruch{1}{|x|}*e^c
[/mm]
Wie löse ich hier jetzt am besten den Betrag auf?
Könnte ja jetzt 2 Fällte unterscheiden:
1.Fall cos(u)>0:
[mm] cos(u)=\bruch{1}{|x|}*e^c
[/mm]
[mm] u=\pm\arccos\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)+2*k*\pi
[/mm]
und wenn ich jetzt eine Probe machen würde:
[mm] u'=\cot(u)*\bruch{1}{x}
[/mm]
linke Seite:
[mm] u'=\pm\bruch{-1}{\sqrt{1-\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)^2}}*(-1)*\bruch{1}{|x|^2}*sign(x)=\bruch{1}{\sqrt{1-\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)^2}}
[/mm]
richtig so?
rechte Seite:
[mm] \cot(u)*\bruch{1}{x}=cot\left(\pm\arccos\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)+2*k*\pi\right)
[/mm]
das ich das [mm] 2*k*\pi [/mm] im [mm] \cot [/mm] weglassen kann ist mir klar - und was [mm] \cot(\arccos(x)) [/mm] ist habe ich auch in meiner Formelsammlung stehen, nur wie gehe ich mit dem [mm] \pm [/mm] um? kann ich das vor das [mm] \cot [/mm] ziehen?
Kann ich den betrag schon irgendiwe auflösen direkt nach dem Schritt wo er auftritt?
Das ganze macht mir jetzt schon seit ner Weile Kopfzerbrechen deswegen bin ich für jede Hilfe dankbar.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden DGL:
> [mm]x*y'-y=x*\cot(\bruch{y}{x})[/mm]
> Also :
>
> [mm]x*y'-y=x*\cot(\bruch{y}{x})[/mm]
> [mm]\gdw y'=\cot(\bruch{y}{x})+\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]u=\bruch{y}{x}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] y=u*x
> [mm]\Rightarrow[/mm] y'=u'*x+u
>
> [mm]u'*x+u=\cot(u)+u[/mm]
> [mm]\gdw u'=\cot(u)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Trennung der Variablen:
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=\cot(u)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]\to \integral_{}^{}{\tan(u) du}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> [mm]\to[/mm] -ln(|cos(u)|)=ln(|x|)+c
>
> so ab jetzt wirds unklar:
>
> [mm]\to[/mm] ln(|cos(u)|)=-ln(|x|)+c
>
> [mm]\to |cos(u)|=\bruch{1}{|x|}*e^c[/mm]
>
> Wie löse ich hier jetzt am besten den Betrag auf?
Um die fällige Fallunterscheidung zu vermeiden,
quadriere die ganze Gleichung und löse dann nach u auf. (1)
>
> Könnte ja jetzt 2 Fällte unterscheiden:
>
> 1.Fall cos(u)>0:
>
> [mm]cos(u)=\bruch{1}{|x|}*e^c[/mm]
> [mm]u=\pm\arccos\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)+2*k*\pi[/mm]
>
> und wenn ich jetzt eine Probe machen würde:
> [mm]u'=\cot(u)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> linke Seite:
>
> [mm]u'=\pm\bruch{-1}{\sqrt{1-\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)^2}}*(-1)*\bruch{1}{|x|^2}*sign(x)=\bruch{1}{\sqrt{1-\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)^2}}[/mm]
> richtig so?
Hier muß es doch heißen:
[mm]u'=\pm\bruch{-1}{\sqrt{1-\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)^2}}*(-1)*\bruch{1}{|x|^2}*sign(x)*\red{e^{C}}=\red{\pm} \bruch{\red{\operatorname{sign}\left(x\right)*e^{C}}}{\red{\vmat{x}^{2}}*\sqrt{1-\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)^2}}[/mm]
>
> rechte Seite:
>
> [mm]\cot(u)*\bruch{1}{x}=cot\left(\pm\arccos\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)+2*k*\pi\right)[/mm]
Und hier muß es heißen:
[mm]\cot(u)*\bruch{1}{x}=cot\left(\pm\arccos\left(\bruch{1}{|x|}*e^c\right)+2*k*\pi\right)*\red{\bruch{1}{x}}[/mm]
>
> das ich das [mm]2*k*\pi[/mm] im [mm]\cot[/mm] weglassen kann ist mir klar -
> und was [mm]\cot(\arccos(x))[/mm] ist habe ich auch in meiner
> Formelsammlung stehen, nur wie gehe ich mit dem [mm]\pm[/mm] um?
> kann ich das vor das [mm]\cot[/mm] ziehen?
Ja.
>
> Kann ich den betrag schon irgendiwe auflösen direkt nach
> dem Schritt wo er auftritt?
Ja, siehe (1).
>
> Das ganze macht mir jetzt schon seit ner Weile
> Kopfzerbrechen deswegen bin ich für jede Hilfe dankbar.
>
>
> Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 27.05.2009 | | Autor: | tedd |
Alles klar ich probier mal:
$ [mm] |cos(u)|=\bruch{1}{|x|}\cdot{}e^c [/mm] $
[mm] \rightarrow \cos^2(u)=\bruch{1}{x^2}*e^c
[/mm]
das [mm] e^c [/mm] kann cih so lassen oder?
[mm] \cos(u)=\pm\sqrt{\bruch{1}{x^2}*e^c}
[/mm]
kann ich die Wurzel jetzt schon wegfallen lassen, also
[mm] \cos(u)=\pm\bruch{1}{x}*\sqrt{e^c}
[/mm]
und anstatt [mm] \sqrt{e^c} [/mm] einfach K schreiben?
dann hätte ich
[mm] u=\pm\arccos(\pm\bruch{1}{x}*K)+2*k*\pi
[/mm]
[mm] u'=\pm\bruch{-1}{\sqrt{1-(\bruch{1}{x^2}*K)}}*\pm*(-1)*\bruch{1}{x^2}*K=\bruch{1}{\sqrt{1-(\bruch{1}{x^2}*K)}}*K*\bruch{1}{x^2}
[/mm]
für die rechte Seite wäre dann
[mm] \cot(u)*\bruch{1}{x}=\cot(\pm\arccos(\pm\bruch{1}{x}*K)+2*k*\pi)*\bruch{1}{x}=\pm\bruch{\pm\bruch{1}{x}*K}{\sqrt{1-(\bruch{1}{x^2}*K)}}*\bruch{1}{x}=\bruch{1}{\sqrt{1-(\bruch{1}{x^2}*K)}}*K*\bruch{1}{x^2}
[/mm]
Wenn das jetzt stimmt, wär ja schon toll. 
Oder habe ich mir da was zurechtgebastelt?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Alles klar ich probier mal:
>
> [mm]|cos(u)|=\bruch{1}{|x|}\cdot{}e^c[/mm]
>
> [mm]\rightarrow \cos^2(u)=\bruch{1}{x^2}*e^c[/mm]
>
> das [mm]e^c[/mm] kann cih so lassen oder?
>
> [mm]\cos(u)=\pm\sqrt{\bruch{1}{x^2}*e^c}[/mm]
Hier muß die Konstante [mm]e^{C}[/mm] auch quadriert werden.
>
> kann ich die Wurzel jetzt schon wegfallen lassen, also
>
> [mm]\cos(u)=\pm\bruch{1}{x}*\sqrt{e^c}[/mm]
>
> und anstatt [mm]\sqrt{e^c}[/mm] einfach K schreiben?
K ist hier [mm]e^{C}[/mm]
>
> dann hätte ich
>
> [mm]u=\pm\arccos(\pm\bruch{1}{x}*K)+2*k*\pi[/mm]
Das geht jetzt so:
[mm]\cos(u)=\pm\bruch{1}{x}*\sqrt{e^{2c}}[/mm]
[mm]\Rightarrow u=\arccos\left(\pm\bruch{1}{x}e^{C}\right)[/mm]
Jetzt isses so:
[mm]\arccos\left(-y\right)=\pi-\arccos\left(y\right)[/mm]
Und daraus folgt, dann daß
[mm]u=\pm\arccos\left(\bruch{1}{x}e^{C}\right)[/mm]
ist.
> [mm]u'=\pm\bruch{-1}{\sqrt{1-(\bruch{1}{x^2}*K)}}*\pm*(-1)*\bruch{1}{x^2}*K=\bruch{1}{\sqrt{1-(\bruch{1}{x^2}*K)}}*K*\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> für die rechte Seite wäre dann
>
> [mm]\cot(u)*\bruch{1}{x}=\cot(\pm\arccos(\pm\bruch{1}{x}*K)+2*k*\pi)*\bruch{1}{x}=\pm\bruch{\pm\bruch{1}{x}*K}{\sqrt{1-(\bruch{1}{x^2}*K)}}*\bruch{1}{x}=\bruch{1}{\sqrt{1-(\bruch{1}{x^2}*K)}}*K*\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> Wenn das jetzt stimmt, wär ja schon toll.
> Oder habe ich mir da was zurechtgebastelt?
Soweit ich das überblicken kann, stimmt das.
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden DGL:
> [mm]x*y'-y=x*\cot(\bruch{y}{x})[/mm]
> Also :
>
> [mm]x*y'-y=x*\cot(\bruch{y}{x})[/mm]
> [mm]\gdw y'=\cot(\bruch{y}{x})+\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]u=\bruch{y}{x}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] y=u*x
> [mm]\Rightarrow[/mm] y'=u'*x+u
>
> [mm]u'*x+u=\cot(u)+u[/mm]
> [mm]\gdw u'=\cot(u)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Trennung der Variablen:
>
> [mm]\bruch{du}{dx}=\cot(u)*\bruch{1}{x}[/mm]
>
> [mm]\to \integral_{}^{}{\tan(u) du}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> [mm]\to[/mm] -ln(|cos(u)|)=ln(|x|)+c
>
> so ab jetzt wirds unklar:
>
> [mm]\to[/mm] ln(|cos(u)|)=-ln(|x|)+c
>
> [mm]\to |cos(u)|=\bruch{1}{|x|}*e^c[/mm]
ich habe das direkt in
[mm] cos(u)=c*\bruch{1}{x} [/mm] umgeformt (also beide [mm] \pm [/mm] vom betrag in das c gesetzt). wurde bei der durchsicht bis jetzt auch nicht bemängelt.
also meine frage: kann man es einfach so abkürzen oder ist das doch eher ein grober schnitzer?
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Hallo fencheltee,
> > Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden DGL:
> > [mm]x*y'-y=x*\cot(\bruch{y}{x})[/mm]
> ich habe das direkt in
> [mm]cos(u)=c*\bruch{1}{x}[/mm] umgeformt (also beide [mm]\pm[/mm] vom betrag
> in das c gesetzt). wurde bei der durchsicht bis jetzt auch
> nicht bemängelt.
> also meine frage: kann man es einfach so abkürzen oder ist
> das doch eher ein grober schnitzer?
Das kann so abgekürzt werden.
Gruß
MathePower
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