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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung lösen
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Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Fr 20.06.2014
Autor: Sim22

Aufgabe
Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
[mm] x'=-2tx+2texp(-t^2) [/mm] , x(0)=-1

Hallo MatheForum,
ich komme im Moment bei der folgenden Aufgabe nicht mehr weiter: [mm] x'=-2tx+2texp(-t^2) [/mm]
Der homogene "Teil" der Funktion ist Ax= x'=-2tx und die Störfunktion [mm] b(x)=2texp(-t^2) [/mm]

Nun habe ich die Variablen des homogenen Teiles getrennt und integriert:

[mm] \Rightarrow \bruch{x'}{x}=-2t [/mm]
[mm] \gdw \integral_{x(0)=-1}^{x(t)}{\bruch{1}{x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{-2t dt} [/mm]
[mm] \gdw lnx(t)-ln(-1)=-t^2 [/mm]

Und da liegt mein Problem, dass der ln nur für [mm] \IR^{>0} [/mm] definiert ist.
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?

Mit freundlichen Grüßen!

        
Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Fr 20.06.2014
Autor: MathePower

Hallo Sim22,

> Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
>  [mm]x'=-2tx+2texp(-t^2)[/mm] , x(0)=-1
>  Hallo MatheForum,
>  ich komme im Moment bei der folgenden Aufgabe nicht mehr
> weiter: [mm]x'=-2tx+2texp(-t^2)[/mm]
>  Der homogene "Teil" der Funktion ist Ax= x'=-2tx und die
> Störfunktion [mm]b(x)=2texp(-t^2)[/mm]
>  
> Nun habe ich die Variablen des homogenen Teiles getrennt
> und integriert:
>  
> [mm]\Rightarrow \bruch{x'}{x}=-2t[/mm]
>  [mm]\gdw \integral_{x(0)=-1}^{x(t)}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{t}{-2t dt}[/mm]
>  [mm]\gdw lnx(t)-ln(-1)=-t^2[/mm]
>  
> Und da liegt mein Problem, dass der ln nur für [mm]\IR^{>0}[/mm]
> definiert ist.
>  Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
>  


Zunächst sind dich die homogene  und partikuläre Lösung der DGL
unabhängig von den Anfangsbedingungen zu berechnen.

Berechne die Integrale daher ohne Integrationsgrenzen.

Demnach:

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}=\integral_{}^{}{-2t dt}+C[/mm]


> Mit freundlichen Grüßen!


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Fr 20.06.2014
Autor: Sim22

Vielen Dank, für deine schnelle Antwort!
Aber würde ich am Ende nicht wieder auf das selbe Problem stoßen?

[mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}=\integral_{}^{}{-2t dt} [/mm]
[mm] \gdw lnx+C_{1}=-t^2+C_{2} [/mm]
[mm] \gdw lnx=-t^2+C_{2}-C_{1} [/mm]
[mm] \gdw x=exp^{-t^2+C_{2}-C_{1}} [/mm]

Nun die Anfangsbedingung: x(0)=-1
[mm] \Rightarrow x(0)=-1=exp^{-0^2+C_{2}-C_{1}} [/mm]
[mm] \gdw -1=exp^{C_{2}-C_{1}} [/mm]
[mm] \gdw ln(-1)=C_{2}-C_{1} [/mm]
Und da habe ich wieder das selbe Problem.
Ich benötige die Anfangsbedingung doch um meine Konstanten auszurechnen, oder verstehe ich da etwas falsch?

Mit freundlichen Grüßen!

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Fr 20.06.2014
Autor: MathePower

Hallo Sim22.

> Vielen Dank, für deine schnelle Antwort!
>  Aber würde ich am Ende nicht wieder auf das selbe Problem
> stoßen?
>  
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}dx}=\integral_{}^{}{-2t dt}[/mm]
> [mm]\gdw lnx+C_{1}=-t^2+C_{2}[/mm]
>  [mm]\gdw lnx=-t^2+C_{2}-C_{1}[/mm]
>  [mm]\gdw x=exp^{-t^2+C_{2}-C_{1}}[/mm]
>  


Die homogene Lösung lautet also: [mm]x_{h}\left(t\right)=C*exp^{-t^{2}}[/mm]


> Nun die Anfangsbedingung: x(0)=-1
>  [mm]\Rightarrow x(0)=-1=exp^{-0^2+C_{2}-C_{1}}[/mm]
>  [mm]\gdw -1=exp^{C_{2}-C_{1}}[/mm]
>  
> [mm]\gdw ln(-1)=C_{2}-C_{1}[/mm]
>  Und da habe ich wieder das selbe
> Problem.
>  Ich benötige die Anfangsbedingung doch um meine
> Konstanten auszurechnen, oder verstehe ich da etwas
> falsch?

>

Nein, das ist richtig.

Um die Konstanten auszurechnen, benötigst Du
noch die partikuläre Lösung. Diese kannst Du
z.B. durch Variation der Konstanten bestimmen,
d.h. C wird von t abhängig gemacht und dann in die DGL eingesetzt.  


> Mit freundlichen Grüßen!


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Differentialgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Fr 20.06.2014
Autor: Sim22

Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden!

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