Differentialgleichung 2. Ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:17 Di 27.10.2015 | | Autor: | mariem |
Hallo,
ich will checken ob/wann die lineare Differentialgleichung 2. Ordnung eine Lösung in den Ring [mm] \mathbb{C}[z] [/mm] hat.
Ich habe folgendes gemacht:
Die generelle lineare Differentialgleichung 2. Ordning ist:
ax''(z)+bx'(z)+cx(z)=y(z)
Das homogene Problem ist:
ax''(z)+bx'(z)+cx(z)=0
Die Charakteristische Gleichung ist:
[mm] a\lambda^2+b\lambda+c=0 [/mm]
[mm] \Delta=b^2-4ac [/mm]
[mm] \lambda_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, [/mm] a [mm] \neq [/mm] 0
Es gibt eine Lösung in [mm] \mathbb{C}[z] [/mm] wenn [mm] \lambda_1=\lambda_2=0, [/mm] weil dann die Lösung des homogenen Problem die folgende ist
[mm] x_H(z)=c_1+c_2z [/mm]
Damit [mm] \lambda_1=\lambda_2=0 [/mm] ist muss folgendes gelten:
[mm] -b+\sqrt{b^2-4ac}=-b-\sqrt{b^2-4ac}=0 [/mm]
[mm] \left.\begin{matrix}
-b+\sqrt{b^2-4ac}=-b-\sqrt{b^2-4ac} \Rightarrow \sqrt{b^2-4ac}=0\\
-b+\sqrt{b^2-4ac}=0 \Rightarrow b=\sqrt{b^2-4ac} \Rightarrow b=0
\end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a=0, \text{ das schliessen wir aus }\\
\text{ oder }\\
c=0
\end{matrix}\right. [/mm]
Also muss b=c=0.
Also haben wir die Differentialgleichung ax''(z)=y(z). (*)
Da [mm] \displaystyle{y(z)=\sum_i \alpha_i z^i} [/mm] und die Multiplizität des Eigenwerts k=2 ist haben wir dass die partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung die folgende ist
[mm] x_p(z)=z^2\sum_{i=0}^n\beta_i z^i [/mm]
[mm] \begin{align*}(*) & \Rightarrow a\left (z^2\sum_{i=0}^n \beta_i z^{i+2}\right )''=\sum_{i=0}^n \alpha_i z^i\\ & \Rightarrow a\sum_{i=0}^n (i+2)(i+1)\beta_i z^i=\sum_{i=0}^n \alpha_i z^n \\ & \Rightarrow \beta_i =\frac{\alpha_i }{(i+1)(i+2)a}\end{align*} [/mm]
Also ist die generelle Lösung der Differentialgleichung die folgende:
[mm] x(z)=x_H(z)+x_p(z) \in \mathbb{C}[z] [/mm]
Also in diesen Ring gibt es eine Lösung wenn b=c=0.
Ist alles richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 01.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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