Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:38 Di 20.10.2009 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | | Seien a,b,L>0. Man löse das folgende AWP: [mm] $$x'(t)=\pmat{x_1'(t)\\x_2'(t)}=\frac{a}{\sqrt{x_1^2(t)+x_2^2(t)}}\pmat{x_1\\x_2}-\pmat{u\\0} \qquad\text{mit}\quad x(0)=\pmat{0\\L}$$ [/mm] |
Hallo,
Diese DGL entstand beim Lösen einer anderen Aufgabe. Bei Bedarf kann ich das ursprüngliche Problem auch nochmal mit dazu posten und meinen bisherigen Lösungsweg erläutern. Ich bin nicht so fit im Lösen von DGL und wäre froh, wenn mir jemand sagen könnte ob man diese DGL analytisch lösen kann oder nicht und falls ja einen kleinen Schubs in die richtige Richtung geben könnte.
Viele Grüße,
Robert
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Di 20.10.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Robert,
was mir da gleich auffällt ist, dass da die Ableitung des Betrages drinsteckt:
[mm] $\frac{d}{dx_1}|x(t)|=\frac{d}{dx_1}\left(\sqrt{x_1^2+x_2^2}\right)=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}$
[/mm]
Genauso für [mm] $x_2$... [/mm] Wenn du da jetzt noch das $a$ reinbastelst, bist du schon fast da.
(Die Bedingung mit [mm] $r(0)=\ldots$ [/mm] soll wohl [mm] $x(0)=\ldots$ [/mm] heißen? Oder meint $r$ den Betrag von $x$?)
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
Hi Robert,
> Seien a,b,L>0. Man löse das folgende AWP:
> [mm]x'(t)=\pmat{x_1'(t)\\x_2'(t)}=\frac{a}{\sqrt{x_1^2(t)+x_2^2(t)}}\pmat{x_1\\x_2}-\pmat{u\\0} \qquad\text{mit}\quad x(0)=\pmat{0\\L}[/mm]
>
> Hallo,
>
> Diese DGL entstand beim Lösen einer anderen Aufgabe. Bei
> Bedarf kann ich das ursprüngliche Problem auch nochmal mit
> dazu posten und meinen bisherigen Lösungsweg erläutern.
> Ich bin nicht so fit im Lösen von DGL und wäre froh, wenn
> mir jemand sagen könnte ob man diese DGL analytisch lösen
> kann oder nicht und falls ja einen kleinen Schubs in die
> richtige Richtung geben könnte.
Hm, also ohne das u ist die aufgabe sehr leicht. Dann ist das richtungsfeld gegeben durch einheitsvektoren, die sternfoermig von (0,0) weglaufen. Loesungen sind dann also einfach alle geraden mit ursprung in 0.
Ich nehme an, u ist eine konstante? Ich wuerde es so versuchen: schreibe (x,y) statt [mm] (x_1,x_2). [/mm] Aus den gleichungen fuer [mm] $\partial_t x_i$ [/mm] kannst du mit ein wenig 'differential-arithmetik' eine gleichung fuer [mm] $\partial_y [/mm] x$ ableiten, naemlich
[math]\partial_y x=\frac{\partial x}{\partial y}=\frac{x}{y} - \frac{u}{a} \sqrt{\frac{x^2}{y^2}+1}[/math]
Die Details lasse ich weg, du musst das nochmal durchrechnen (auch falls ich einen fehler gemacht habe). Auf dem weg hierhin wurde $y>0$ verwendet. Ich betrachte x als funktion von y (statt wie ueblich y(x)), weil die entstehende Dgl. mir einfacher erscheint.
Solche DGLs der art [mm] $\partial_y x=f(\frac{x}{y})$ [/mm] kann man aber auf eine DGL mit getrennten Vars. ueberfuehren mit der substitution [mm] $z(y)=\frac{x}{y}$. [/mm] Es entsteht dann die DGL
[math]\partial_y z=\frac{1}{y}(f(z)-z)[/math]
All das kannst du zb. im forster 2 nachlesen. Habe die Gleichung nicht zuende gerechnet, sie sieht aber loesbar aus.
gruss
matthias
>
> Viele Grüße,
> Robert
|
|
|
|
