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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:31 So 26.07.2009 | | Autor: | themainman |
| Aufgabe | Berechne folgende Differentialgleichung durch Trennung der Variablen:
a) y' = [mm] (y+2)^2
[/mm]
b) y' * [mm] (1+x^3)=3*x^2*y [/mm] |
Hallo Leute,
Ich habe eben angefangen mich ein wenig in das Thema Differentialgleichungen zu vertiefen und wollte die Beispielaufgaben oben lösen. Allerdings weiß ich bei beiden nicht wirklich wie ich auf den richtigen Weg komme. Könntet ihr mir beim Lösen der beiden Augaben helfen? Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 So 26.07.2009 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, themainman,
naja: Wenn Du üben willst, musst Du wenigstens einen Lösungsvorschlag angeben!
Fang mal mit der 1. Aufgabe an!
2 Tipps vorher:
1. Da Du während der Lösung durch [mm] (y+2)^{2} [/mm] dividieren musst, wirst Du als erstes überprüfen, ob y = -2 als Lösung in Frage kommt. Anschließend kannst Du Dich voll auf y [mm] \not= [/mm] -2 konzentrieren.
2. Schreib' statt y' bei diesen Aufgaben immer [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] und forme so lange um, bis die Variable y (einschließlich dy) nur noch links, die Variable x (einschließlich dx) rechts steht; dann kannst Du auf beiden Seiten integrieren!
Los geht's!
mfG!
Zwerglein
> Berechne folgende Differentialgleichung durch Trennung der
> Variablen:
> a) y' = [mm](y+2)^2[/mm]
> b) y' * [mm](1+x^3)=3*x^2*y[/mm]
> Hallo Leute,
> Ich habe eben angefangen mich ein wenig in das Thema
> Differentialgleichungen zu vertiefen und wollte die
> Beispielaufgaben oben lösen. Allerdings weiß ich bei
> beiden nicht wirklich wie ich auf den richtigen Weg komme.
> Könntet ihr mir beim Lösen der beiden Augaben helfen?
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Ich wusste nicht ob ich die binomische Formel ausrechnen soll, oder ob ich sie stehen lassen soll, ich habe jetzt mal angefangen und sie am Anfang ausgerechnet. Hier also mein erster Ansatz:
[mm] y'=(y+2)^2
[/mm]
[mm] dy/dx=y^2+4*y+4
[/mm]
[mm] 1/y^2+1/4*y*dy=4*dx
[/mm]
dann integriere ich beide Seiten und erhalte nach meiner Rechnung
[mm] -1/y+1/8*y^2= [/mm] 4*x+c
Wie wäre jetzt der nächste Schritt und stimmt das bis hier hin überhaupt?
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Hi, themainman,
> Vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Ich wusste nicht ob
> ich die binomische Formel ausrechnen soll,
![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]") Bloß nicht!!!
> Hier also mein erster Ansatz:
>
> [mm]y'=(y+2)^2[/mm]
> [mm]dy/dx=y^2+4*y+4[/mm]
> [mm]1/y^2+1/4*y*dy=4*dx[/mm]
Ist das Dein Ernst?
Sei mir nicht böse, aber ich glaube,
Du solltest erst mal die algebraischen Umformungen wiederholen!
Also: [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] (y+2)^{2} [/mm] (***)
1. Fall: y = -2. Da in diesem y' = 0 ergibt sich in (***) eine wahre Aussage.
Demnach ist y=-2 eine Lösung der DGL.
2.Fall: y [mm] \not= [/mm] -2. Jetzt darf man durch [mm] (y+2)^{2} [/mm] dividieren.
Gleichzeitig multipliziere ich mit dx:
[mm] \bruch{dy}{(y+2)^{2}} [/mm] = dx
So: Und nun mach' Du weiter!
mfG!
Zwerglein
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ok super, wenn ich dann weiter rechne komme ich auf das Ergebnis y=-1/(x+c)-2
Nun zu Aufgabe b) [mm] y'*(1+x^3)=3*x^2*y
[/mm]
Im 1. Fall wäre x= -1 eine Lösung des DGL
Im 2. Fall ist x [mm] \not= [/mm] -1 und ich dividiere [mm] (1+x^3) [/mm] auf die andere Seite, so dass nun die Gleichung lautet:
dy/dx= [mm] (3x^2*y)/(1+x^3)
[/mm]
1/y*dy= [mm] (3x^3)/(1+x^3)*dx
[/mm]
Ich integriere beide Seiten und bekomme folgendes heraus:
log(y)= [mm] log(x^3+1)+c
[/mm]
y= [mm] (x^3+1)+c
[/mm]
Allerdings steht im Lösungsbuch die Lösung [mm] y=(x^3+1)*c
[/mm]
Was habe ich nicht beachtet?
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> ok super, wenn ich dann weiter rechne komme ich auf das
> Ergebnis y=-1/(x+c)-2
>
> Nun zu Aufgabe b) [mm]y'*(1+x^3)=3*x^2*y[/mm]
>
> Im 1. Fall wäre x= -1 eine Lösung des DGL
>
> Im 2. Fall ist x [mm]\not=[/mm] -1 und ich dividiere [mm](1+x^3)[/mm] auf die
> andere Seite, so dass nun die Gleichung lautet:
>
> dy/dx= [mm](3x^2*y)/(1+x^3)[/mm]
>
>
> 1/y*dy= [mm](3x^3)/(1+x^3)*dx[/mm]
>
> Ich integriere beide Seiten und bekomme folgendes heraus:
>
> log(y)= [mm]log(x^3+1)+c[/mm]
[mm] e^{log(y)}=e^{log(x^3+1)+c}
[/mm]
[mm] y=e^{log(x^3+1)}*e^c=(x^3+1)*e^c=(x^3+1)*e^c=(x^3+1)*c'
[/mm]
> y= [mm](x^3+1)+c[/mm]
>
> Allerdings steht im Lösungsbuch die Lösung [mm]y=(x^3+1)*c[/mm]
> Was habe ich nicht beachtet?
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 So 26.07.2009 | | Autor: | themainman |
super danke für eure hilfe! jetzt ist mir alles klar!
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Hi, themainman,
> ok super, wenn ich dann weiter rechne komme ich auf das
> Ergebnis y=-1/(x+c)-2
Vergiss aber nicht, die jeweilige Definitionsmenge anzugeben:
D = [mm] ]-\infty [/mm] ; -c [ oder D = ] -c ; [mm] +\infty [/mm] [
> Nun zu Aufgabe b) [mm]y'*(1+x^3)=3*x^2*y[/mm]
>
> Im 1. Fall wäre x= -1 eine Lösung des DGL
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") x = -1 ist doch KEINE FUNKTION !!
> Im 2. Fall ist x [mm]\not=[/mm] -1 und ich dividiere [mm](1+x^3)[/mm] auf die
> andere Seite, so dass nun die Gleichung lautet:
>
> dy/dx= [mm](3x^2*y)/(1+x^3)[/mm]
>
>
> 1/y*dy= [mm](3x^3)/(1+x^3)*dx[/mm]
HIER hätte die Fallunterscheidung erfolgen müssen:
1.Fall: y = 0. Einsetzen ergibt: Diese Funktion ist Lösung der DGL.
2.Fall: y [mm] \not= [/mm] 0 und dann Division durch y.
> Ich integriere beide Seiten und bekomme folgendes heraus:
>
> log(y)= [mm]log(x^3+1)+c[/mm]
Schreib' beim natürlichen Logarithmus lieber ln, nicht log !
> y= [mm](x^3+1)+c[/mm]
> Allerdings steht im Lösungsbuch die Lösung [mm]y=(x^3+1)*c[/mm]
> Was habe ich nicht beachtet?
Das war ja schon beantwortet!
mfG!
Zwerglein
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