Differentialformen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:48 Mi 15.02.2012 | | Autor: | yoda_rdu |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zu Differentialformen und habe leider in keinem meiner Bücher dazu eine Antwort gefunden. Vielleicht habt ihr eine Idee.
Eine k-Form ist definiert als antisymmetrischer k-Stufiger Tensor, also ist beispielsweise eine 1-Form ein (dualer/Kotangential-) Vektor, darstellbar als Zeilenmatrix; eine 2-Form kann als antisymmetrische 2x2-Matrix dargestellt werden.
In der Schreibweise der Differentialformen wird die Orthonormalbasis einer 1-Form im [mm] R^n [/mm] als [mm] \{dx_1, ..., dx_n\} [/mm] dargestellt. Ich schätze, man wählt diese Schreibweise, da sie die Transformationseigenschaften unter Koordinatenwechsel suggeriert (die Basis des Tangentialraums wird entsprechend als [mm] \{\partial / \partial x_1, ..., \partial / \partial x_n\} [/mm] dargestellt). Es gilt hier der Zusammenhang [mm] \mathbf{e}_i [/mm] = [mm] dx_i, [/mm] wobei
[mm] \mathbf{e}_i [/mm] der i-te kanonische Basisvektor im [mm] R^n [/mm] ist.
Betrachten wir die 1-Form $df$:
$df$ = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_i} dx_i
[/mm]
Diese 1-Form sieht aus wie ein klassisches Differential, das eine infinitesimale Änderung der Funktion f beschreibt.
Jedoch ist $df$ nichts anderes als der Gradient von f, da
$df$ = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_i} dx_i [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial x_i} \mathbf{e}_i [/mm] = [mm] \nabla{f}
[/mm]
Das Problem wird noch deutlicher beim Integrieren von Diff-Formen: Die Basisvektoren [mm] dx_i [/mm] werden nun als infinitesimales Inkrement
interpretiert. Betrachten wir das Integral über die 1-Form [mm] \omega [/mm] = [mm] f_i dx_i:
[/mm]
[mm] \int{\omega} [/mm] = [mm] \int{f_i dx_i} [/mm] (*)
Während die rechte Seite aussieht wie ein Wegintegral (bekannt aus der Physik zur Berechnung der Arbeit oder Zirkulation), steht dort doch eigentlich
[mm] \int{\omega} [/mm] = [mm] \int{f_i \mathbf{e}_i} [/mm]
Der letzte Ausdruck ergibt für mich keinen Sinn, da das Inkrement, mit dem wir den Integranden multiplizieren, fehlt. Mit 2-Formen (oder allgemein k-Formen), besteht ein analoges Problem:
[mm] \int{\omega} [/mm] = [mm] \int{f dx_1 \wedge dx_2} [/mm] = [mm] \int{f d^2x}. [/mm] (**)
Das Problem bei (*) und (**) ist, dass
1) die Koordinatendifferentiale eigentlich Einheitsvektoren sind aber jetzt plötzlich als infinitesimale Größen, als Teil des Integraloperators interpretiert werden
2) Die linke und die Rechte Seite der Integrale in (*) und (**) unterschiedliche Ränge haben: links steht jeweils ein Vektor (1-Form) bzw. antisymmetrischer Tensor (2-Form), rechts jeweils ein Skalar.
Ich bin mir sicher, dass ich da etwas missverstehe, aber irgendwie komme ich nicht drauf.
Herzlichen Dank für eure Zeit und viele Grüße!
Y.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Do 16.02.2012 | | Autor: | Berieux |
Hi!
Ich hoffe ich kann deine Probleme einigermaßen klären.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe eine Frage zu Differentialformen und habe leider
> in keinem meiner Bücher dazu eine Antwort gefunden.
> Vielleicht habt ihr eine Idee.
>
> Eine k-Form ist definiert als antisymmetrischer k-Stufiger
> Tensor, also ist beispielsweise eine 1-Form ein
> (dualer/Kotangential-) Vektor, darstellbar als
> Zeilenmatrix; eine 2-Form kann als antisymmetrische
> 2x2-Matrix dargestellt werden.
>
> In der Schreibweise der Differentialformen wird die
> Orthonormalbasis einer 1-Form im [mm]R^n[/mm] als [mm]\{dx_1, ..., dx_n\}[/mm]
> dargestellt. Ich schätze, man wählt diese Schreibweise,
Hier gehts los. Die 1-Formen sind zunächst mal Abbildungen [mm]M\to T_{p}^{\star}M [/mm], wobei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist (hier halt der [mm]R^{n}[/mm], aber ich möchte hier gleich mal anmerken, dass Differentialformen eigentlich im [mm]R^{n}[/mm] nicht benötigt werden, weil man globale Koordinaten hat). Und die Standardformen [mm]dx_{i}[/mm] bilden punktweise (!) eine Basis vom Kotangentialraum.
> da sie die Transformationseigenschaften unter
> Koordinatenwechsel suggeriert (die Basis des
> Tangentialraums wird entsprechend als [mm]\{\partial / \partial x_1, ..., \partial / \partial x_n\}[/mm]
> dargestellt). Es gilt hier der Zusammenhang [mm]\mathbf{e}_i[/mm] =
> [mm]dx_i,[/mm] wobei
> [mm]\mathbf{e}_i[/mm] der i-te kanonische Basisvektor im [mm]R^n[/mm] ist.
>
Der Kotangentialraum in einem Punkt p hat die Basis [mm]dx_{1}_{p},...,dx_{n}_{p}[/mm]. Also Differentialformen sind zunächst mal keine Vektoren, sondern Abbildungen (genauer: Schnitte im Kotangentialbündel); Anmerkung: natürlich bilden die Differentialformen auch einen Vektorraum, aber a priori sind es keine Vektoren in deiner Ausgangsmannigfaltigkeit [mm]M=R^{n}[/mm]. Punktweise bilden die gegebenen Linearformen aber eine Basis des Kotangentialraums.
> Betrachten wir die 1-Form [mm]df[/mm]:
>
> [mm]df[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_i} dx_i[/mm]
>
> Diese 1-Form sieht aus wie ein klassisches Differential,
> das eine infinitesimale Änderung der Funktion f
> beschreibt.
> Jedoch ist [mm]df[/mm] nichts anderes als der Gradient von f, da
>
> [mm]df[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_i} dx_i[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_i} \mathbf{e}_i[/mm] = [mm]\nabla{f}[/mm]
>
Hm, du bist anscheinend Physiker. Diese unsäglichen Summationskonventionen sieht man in der Mathematik aber eher nicht so gern ;); wie dem auch sei . Hier wirfst du ein paar Sachen durcheinander. Zunächst gilt wieder was ich oben gesagt habe.
Ich versuch das mal auszuformulieren: Wir haben eine glatte Mannigfaltigkeit M [mm] (=R^{n}) [/mm] und [mm]f\in \mathcal{C}^{\infty}(M)[/mm] eine glatte Funktion. Dann ist [mm]df=\sum_{i} \bruch{ \partial f}{\partial x_i} dx_i[/mm] eine Differentialform (man kann df hier global so schreiben, weil man globale Koordinaten hat, sonst wäre das bloß eine lokale Darstellung).
Jetzt hat man punktweise natürlich einen Isomorphismus [mm]T_{p}^{\star}M \cong R^{n}, dx_{i}_{p}\mapsto e_{i}[/mm]. Dasselbe natürlich für den Tangentialraum, und somit wird punktweise - unter der Verknüpfung dieser Isomorphismen - df auf grad(f) geworfen. Tatsächlich ist df das zu gradf duale Objekt. Was man damit meint ist das folgende: Der Gradient ist immer bezüglich einer Metrik definiert. Man hat also erst einen Gradienten, wenn man auf einer Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik fixiert. Sobald man das macht, hat man aber einen kanonischen (!) Isomorphismus zwischen Tangentialraum und Kotangentialraum (merke: im allgemeinen sind Vektorräume über R gleicher Dimension zwar isomorph, aber nicht kanonisch isomorph; jeder Iso ist von der Basiswahl abhängig); sofern du weißt was das ist: dieser Iso verklebt zu einem Bündelisomorphismus zwischen Tangential- und Kotangentialbündel.
Dieser kanonische Iso wirft gerade Punktweise grad(f) auf df.
Um nach diesem Ausflug wieder zurückzukommen: Dein Problem ist, dass du alles als Objekte desselben Raumes auffasst: nämlich einfach als Vektoren des [mm]R^{n}[/mm].
> Das Problem wird noch deutlicher beim Integrieren von
> Diff-Formen: Die Basisvektoren [mm]dx_i[/mm] werden nun als
> infinitesimales Inkrement
> interpretiert. Betrachten wir das Integral über die
> 1-Form [mm]\omega[/mm] = [mm]f_i dx_i:[/mm]
>
> [mm]\int{\omega}[/mm] = [mm]\int{f_i dx_i}[/mm] (*)
>
> Während die rechte Seite aussieht wie ein Wegintegral
> (bekannt aus der Physik zur Berechnung der Arbeit oder
> Zirkulation), steht dort doch eigentlich
Ein Wegintegral seh ich da jetzt nicht. Oder integrierst du über eine Kurve? Wie dem auch sei: Das Integral einer Differentialform ist einfach so definiert. Auf der rechten Seite brauch dann keine Diffform mehr zu stehen. Man setzt einfach:
[mm]\int{\omega}[/mm] := [mm]\int{f_i dx_i}[/mm]
wobei rechts das bekannte (Lebesgue-) Integral über f steht.
Auch hier ist das bloß so einfach im Fall [mm]M=R^{n}[/mm]. Ansonsten muss man mit mehreren Karten und einer Zerlegung der 1 arbeiten um das Integral über eine Diffform zu definieren. Es geht aber immer darum, das Integral auf einer Mannigfaltigkeit, auf das bekannte Integral im [mm]R^{n}[/mm] zurückzuführen.
>
> [mm]\int{\omega}[/mm] = [mm]\int{f_i \mathbf{e}_i}[/mm]
>
> Der letzte Ausdruck ergibt für mich keinen Sinn, da das
> Inkrement, mit dem wir den Integranden multiplizieren,
> fehlt. Mit 2-Formen (oder allgemein k-Formen), besteht ein
> analoges Problem:
>
> [mm]\int{\omega}[/mm] = [mm]\int{f dx_1 \wedge dx_2}[/mm] = [mm]\int{f d^2x}.[/mm]
> (**)
>
> Das Problem bei (*) und (**) ist, dass
> 1) die Koordinatendifferentiale eigentlich
> Einheitsvektoren sind aber jetzt plötzlich als
> infinitesimale Größen, als Teil des Integraloperators
> interpretiert werden
Nein. Zunächst mal gibt es in der herkömlichen Analysis keine infinitesimalen Größen. Und darüberhinaus wirkt der Integraloperator auf die Differentialform, und die Operation ist halt so definiert, dass man das Lebesgue-Integral (hier über ein 2-dim Gebiet) über f nimmt.
> 2) Die linke und die Rechte Seite der Integrale in (*) und
> (**) unterschiedliche Ränge haben: links steht jeweils ein
> Vektor (1-Form) bzw. antisymmetrischer Tensor (2-Form),
> rechts jeweils ein Skalar.
>
Mach dir klar, wo die Objekte mit denen du es zu tun hast "leben", und wirf diese nicht durcheinander. Links und rechts steht eine reelle Zahl, nämlich der Wert des Integrals.
Abschließend vielleicht noch: Ich denke deine Probleme haben vor allem damit zu tun, dass du bloß im [mm]R^{n}[/mm] arbeitest, und man hier den Sinn von Differentialformen einfach nicht erblickt (einfach deshalb, weil sie im [mm]R^{n}[/mm] völlig überflüssig sind). Man braucht Differentialformen erst, wenn man über Mannigfaltigkeiten integrieren will.
Hoffentlich konnte ich etwas Licht ins Dunkel bringen.
Viele Grüße,
Berieux
>
> Ich bin mir sicher, dass ich da etwas missverstehe, aber
> irgendwie komme ich nicht drauf.
>
> Herzlichen Dank für eure Zeit und viele Grüße!
>
> Y.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Do 16.02.2012 | | Autor: | yoda_rdu |
Hi Berieux,
zunaechst besten Dank fuer Deine Antwort!
Ich hatte schon befuerchtet, dass ich Aerger dafuer bekomme, nicht sauber zwischen Vektoren, Tangentialraum, Abbildungen und Kotangentialraum unterschieden zu haben. Allerdings verstehe ich noch nicht, wieso diese Unterscheidung mein Problem loest. Auch wenn Differentialformen ihren Nutzen erst auf einer Mannigfaltigkeit entfalten, muesste man ja konsistente Ergebnisse auch im [mm] $R^n$ [/mm] bekommen. Aber gehen wir ruhig auf eine beliebige Mannigfaltigkeit und bleiben wir bei den 1-Formen.
Sei also $M$ eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Hier kann ich an einem Punkt $P$ ueber die Richtungsableitung Tangentialvektoren definieren, die entsprechend einen Vektorraum aufspannen. Die Basis dieses Raumes wird mit [mm]\{\partial / \partial x_1, ..., \partial / \partial x_n\}[/mm] bezeichnet. Der Tangentialvektor $v$ schreibt sich dann als [mm] $\sum_{i=1}^n v_i \partial [/mm] / [mm] \partial x_i$ [/mm] (auf diese Schreibweise wuerde ich gerne gleich noch einmal zurueckkommen). Der Raum, in dem die Tangentialvektoren leben, wird mit [mm] $T_p(M)$ [/mm] bezeichnet.
Nun definiert man Abbildungen, die einem Punkt $P$ aus $M$ einen Cotangentialvektor zuordnen. Diese Abbildungen bilden einen Vektorraum und man kann eine Basis definieren, [mm]\{dx_1, ..., dx_n\}[/mm], die [mm] $dx_i(\partial/\partial{x_j}) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$ [/mm] erfuellt (so wie ich das sehe, ist diese Definition aequivalent zur Definition des Dualraums, die Elemente aus [mm] $T_p(M)$ [/mm] nach $R$ abbildet). Wenn man bei Forsters Band 3 auf S. 194 nachschaut wird deutlich, dass zumindest im [mm] $R^n$ [/mm] fuer das Skalarprodukt [mm] $(dx_i, \mathbf{e}_j) [/mm] = [mm] \delta_{ij}$ [/mm] gilt. Daraus schliesse ich, dass [mm]\{dx_1, ..., dx_n\}[/mm] die zum Tangentialraum [mm] $T_p(M)$ [/mm] dualen Einheitsvektoren sind (und im Raum [mm] $T_p^{*}(M)$ [/mm] angesiedelt sind). Verstehe ich das richtig, dass die Cotangentialvektoren "keine wirklichen Vektoren" sind, da man zu deren Definition Vektoren (aus dem Tangentialraum) benoetigt?
> Jetzt hat man punktweise natürlich einen Isomorphismus
> [mm]T_{p}^{\star}M \cong R^{n}, dx_{i}_{p}\mapsto e_{i}[/mm].
> Dasselbe natürlich für den Tangentialraum, und somit wird
> punktweise - unter der Verknüpfung dieser Isomorphismen -
> df auf grad(f) geworfen.
Ich habe schon oefters gelesen, dass ein Vektorraum und sein Dualraum isomorph zueinander sind. Im [mm] $R^n$ [/mm] sind aber beide Raeume identisch, oder? Also sind auch die Standard-Dualbasis und die Standardbasis identisch (das geht z.B. aus der Definition der ko- und kontravarianten Basisvektoren hervor, die im [mm] $R^n$ [/mm] identisch sind). Wenn ich in meinem Tangentialraum kartesische Koordinaten und die dazugehoerige Standardbasis hernehme, sollte die duale Basis doch ebenfalls identisch zu dieser Standardbasis sein. Entsprechend gilt dann doch $df = [mm] \nabla{f}$ [/mm] (fuer $P [mm] \in [/mm] M$ und global wenn meine Mannigfaltigkeit aus [mm] $R^n$ [/mm] selbst ist). Die "Philosophie" bei $df$ und [mm] $\nabla{f}$ [/mm] ist sicherlich eine andere, aber im [mm] $R^n$ [/mm] wuerde ich beide Objekte durch dieselben n-Tupel beschreiben.
Tatsächlich ist df das zu gradf
> duale Objekt. Was man damit meint ist das folgende: Der
> Gradient ist immer bezüglich einer Metrik definiert. Man
> hat also erst einen Gradienten, wenn man auf einer
> Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik fixiert. Sobald
> man das macht, hat man aber einen kanonischen (!)
> Isomorphismus zwischen Tangentialraum und Kotangentialraum
> (merke: im allgemeinen sind Vektorräume über R gleicher
> Dimension zwar isomorph, aber nicht kanonisch isomorph;
> jeder Iso ist von der Basiswahl abhängig);
Ich habe auf die Schnelle nicht finden koennen, was der Unterschied zwischen isomorph und kanonisch isomorph ist. Aber wie gesagt, sind im [mm] $R^n$ [/mm] nicht beide Raeume identisch?
> > Das Problem wird noch deutlicher beim Integrieren von
> > Diff-Formen: Die Basisvektoren [mm]dx_i[/mm] werden nun als
> > infinitesimales Inkrement
> > interpretiert. Betrachten wir das Integral über die
> > 1-Form [mm]\omega[/mm] = [mm]f_i dx_i:[/mm]
> >
> > [mm]\int{\omega}[/mm] = [mm]\int{f_i dx_i}[/mm] (*)
> >
> > Während die rechte Seite aussieht wie ein Wegintegral
> > (bekannt aus der Physik zur Berechnung der Arbeit oder
> > Zirkulation), steht dort doch eigentlich
> Ein Wegintegral seh ich da jetzt nicht. Oder integrierst
> du über eine Kurve? Wie dem auch sei: Das Integral einer
> Differentialform ist einfach so definiert. Auf der rechten
> Seite brauch dann keine Diffform mehr zu stehen. Man setzt
> einfach:
> [mm]\int{\omega}[/mm] := [mm]\int{f_i dx_i}[/mm]
Das muss ich wohl so hinnehmen  Ich denke ich bin verwirrt, weil normalerweise ein Integral ueber einen Vektor wieder einen Vektor ergibt (wenn ich ueber den Geschwindigkeitsvektor integriere, bekomme ich die Position -- beides Vektoren). Hier wird nun ein Tensor in das Integral gesteckt und heraus kommt ein Skalar. Aber vielleicht ist die linke Seite eher symbolisch zu verstehen.
> > 1) die Koordinatendifferentiale eigentlich
> > Einheitsvektoren sind aber jetzt plötzlich als
> > infinitesimale Größen, als Teil des Integraloperators
> > interpretiert werden
> Nein. Zunächst mal gibt es in der herkömlichen Analysis
> keine infinitesimalen Größen.
Obwohl das nicht das Hauptthema ist: Wieso gibt es in der Analysis keine infinitesimalen Groessen? Das Integral wird doch ueber eine Limesbildung definiert (die gesamte Analysis (aka Infinitesimalrechnung) basiert doch auf infinitesimalen Groessen...oder sollte ich da all die Jahre etwas missverstanden haben?
Man kann glaube ich mein Problem so zusammenfassen:
In Diff-Form Schreibweise ist:
[mm] $\sum_{i}^n f_i dx_i$ [/mm] ein Cotangentialvektor, darstellbar durch eine Zeilenmatrix und
[mm] $\sum_{i}^n f_i (\partial [/mm] / [mm] \partial x_i)$ [/mm] ein Tangentialvektor, darstellbar durch eine Spaltenmatrix.
In konventioneller Notation ist:
[mm] $\sum_{i}^n f_i dx_i$ [/mm] ein Skalar, das eine infinitesimale Aenderung der Funktion [mm] $\mathbf{f}$ [/mm] in Richting [mm] $d\mathbf{r}$ [/mm] beschreibt und
[mm] $\sum_{i}^n f_i (\partial [/mm] / [mm] \partial x_i)$ [/mm] ein Operator, der die Richtungsableitung beschreibt und auf eine Funktion angewendet wird.
Obwohl die Notation identisch ist, werden jeweils verschiedene mathematische Objekte beschrieben. Ich bin verwirrt, weil sich normalerweise in Mathe alles zu einem grossen Bild zusammenfuegt und v.a. konsistent ist. Hier sehe ich das irgendwie noch nicht ...
Herzlichen Dank fuer Deine Geduld,
Y.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:06 Fr 17.02.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Hi Berieux,
>
> zunaechst besten Dank fuer Deine Antwort!
>
> Ich hatte schon befuerchtet, dass ich Aerger dafuer
> bekomme, nicht sauber zwischen Vektoren, Tangentialraum,
> Abbildungen und Kotangentialraum unterschieden zu haben.
> Allerdings verstehe ich noch nicht, wieso diese
> Unterscheidung mein Problem loest. Auch wenn
> Differentialformen ihren Nutzen erst auf einer
> Mannigfaltigkeit entfalten, muesste man ja konsistente
> Ergebnisse auch im [mm]R^n[/mm] bekommen. Aber gehen wir ruhig auf
> eine beliebige Mannigfaltigkeit und bleiben wir bei den
> 1-Formen.
>
> Sei also [mm]M[/mm] eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Hier kann
> ich an einem Punkt [mm]P[/mm] ueber die Richtungsableitung
> Tangentialvektoren definieren, die entsprechend einen
> Vektorraum aufspannen. Die Basis dieses Raumes wird mit
> [mm]\{\partial / \partial x_1, ..., \partial / \partial x_n\}[/mm]
> bezeichnet. Der Tangentialvektor [mm]v[/mm] schreibt sich dann als
> [mm]\sum_{i=1}^n v_i \partial / \partial x_i[/mm] (auf diese
> Schreibweise wuerde ich gerne gleich noch einmal
> zurueckkommen). Der Raum, in dem die Tangentialvektoren
> leben, wird mit [mm]T_p(M)[/mm] bezeichnet.
>
Die Schreibweise [mm]\{\partial / \partial x_1, ..., \partial / \partial x_n\}[/mm] für die Basis des Tangentialraums, rührt daher, dass man den Tangentialraum als Raum der Derivationen in p auffassen kann. Darüberhinaus solltest du dir unbedingt klarmachen, was [mm] \partial / \partial x_i [/mm] hier genau bedeutet (diese Operatoren sind bezüglich einer Karte definiert!).
> Nun definiert man Abbildungen, die einem Punkt [mm]P[/mm] aus [mm]M[/mm]
> einen Cotangentialvektor zuordnen. Diese Abbildungen
> bilden einen Vektorraum und man kann eine Basis definieren,
> [mm]\{dx_1, ..., dx_n\}[/mm], die [mm]dx_i(\partial/\partial{x_j}) = \delta_{ij}[/mm]
> erfuellt (so wie ich das sehe, ist diese Definition
> aequivalent zur Definition des Dualraums, die Elemente aus
> [mm]T_p(M)[/mm] nach [mm]R[/mm] abbildet). Wenn man bei Forsters Band 3 auf
> S. 194 nachschaut wird deutlich, dass zumindest im [mm]R^n[/mm] fuer
> das Skalarprodukt [mm](dx_i, \mathbf{e}_j) = \delta_{ij}[/mm] gilt.
> Daraus schliesse ich, dass [mm]\{dx_1, ..., dx_n\}[/mm] die zum
> Tangentialraum [mm]T_p(M)[/mm] dualen Einheitsvektoren sind (und im
> Raum [mm]T_p^{*}(M)[/mm] angesiedelt sind). Verstehe ich das
> richtig, dass die Cotangentialvektoren "keine wirklichen
> Vektoren" sind, da man zu deren Definition Vektoren (aus
> dem Tangentialraum) benoetigt?
>
Ok. Hier fang ich mal von vorne an. Diese [mm]dx_{i}[/mm] die du da oben beschreibst, sind keine (!) Differentialformen, sondern tatsächlich Dualvektoren, dh Auswertungen von Diffformen an einem Punkt p.
Allgemein für [mm]R^{n}[/mm]: Sei [mm]U\subset R^{n}[/mm] offen. Dann heißen die glatten Abbildungen [mm]\omega:U\to \Lambda^{k} (R^{n})^{\star} [/mm] Differentialformen vom Grad k. (Achtung: Für abstrakte Mannigfaltigkeiten definiert man die Dinger als Schnitte im k-ten äußeren Produkt des Kotangentialbündels, und dieses ist eine 2n-dim Mannigfaltigkeit; wobei man im einfachen Fall des [mm]R^{n}[/mm] das k-te Produkt von etwas n-dimensionalem nimmt! Das kann man machen, weil das Konzept des Tangentialraums hier eben eigentlich überflüssig ist, und man auch Vektorfelder einfach als "normale" glatte Abbildungen auffassen kann, und tut).
Bleiben wir aber im [mm]R^{n}[/mm]. Diese k-Formen bilden einen R-Vektorraum [mm]\Omega^{k}(U)[/mm] (tatsächlich natürlich noch mehr als das). Dieser Vektorraum hat aber direkt nichts mit dem Tangentialraum zu tun, und ist darüberhinaus sogar unendlichdimensional als R-Vektorraum. Aufgefasst als Modul über dem Ring der glatten Funktionen hat er Rang n (das ist auch global bloß im linearen Fall so; Für nicht lineare Mannigfaltigkeiten bilden die k-Formen bloß lokal einen freien [mm]\mathcal{C}^{\infty}-Modul [/mm], was nichts anderes bedeutet als dass du lokal Basisdiffformen hast. Als R-Vektorraum bleibt aber [mm]\Omega^{k}(U)[/mm] für alle offenen U unendlichdimensional.
Das was du da oben beschreibst, ist der Kotangentialraum in einem Punkt p aufgespannt von [mm]dx_{1}(p),...,dx_{n}(p)[/mm]. Was natürlich ein n-dim R-Vektorraum ist.
Also, was Forster jetzt vermutlich macht (hab das Buch nicht hier), ist dass man den Tangentialraum umgeht. Dementsprechend, gilt in jedem Punkt p: [mm]dx_{i}(p)[/mm] ist der duale Vektor zu [mm]e_{i}[/mm]. Aber identisch sind sie nicht! Sondern [mm]dx_{i}(p)\in (R^{n})^{\star} [/mm]; und dass da irgendwo [mm](dx_{i}, e_{j})= \delta_{ij}[/mm] für das normale SKP steht kann ich mir eigentlich schlecht vorstellen. Was Sinn macht, ist [mm]dx_{i}(p)(e_{j})=\delta_{ij}[/mm], oder vielleicht [mm]dx_{i}(p)=(e_{i}, \dot )[/mm].
Und wie gesagt: [mm]dx_{i} [/mm] kann schon gar nicht identisch zu [mm]e_{i}[/mm] sein, sondern ist ein Element im undendlich-dimensionalen Vektorraum [mm]\Omega(R^{n})[/mm].
> > Jetzt hat man punktweise natürlich einen Isomorphismus
> > [mm]T_{p}^{\star}M \cong R^{n}, dx_{i}_{p}\mapsto e_{i}[/mm].
> > Dasselbe natürlich für den Tangentialraum, und somit wird
> > punktweise - unter der Verknüpfung dieser Isomorphismen -
> > df auf grad(f) geworfen.
>
> Ich habe schon oefters gelesen, dass ein Vektorraum und
> sein Dualraum isomorph zueinander sind. Im [mm]R^n[/mm] sind aber
> beide Raeume identisch, oder? Also sind auch die
Nein, identisch sind sie nicht.. Dass ein endlichdimensionaler VR zu seinem Dualraum isomorph ist, ist tatsächlich trivial, weil jeder n-dim R-Vektorraum zum [mm]R^{n}[/mm] isomorph ist.
> Standard-Dualbasis und die Standardbasis identisch (das
> geht z.B. aus der Definition der ko- und kontravarianten
> Basisvektoren hervor, die im [mm]R^n[/mm] identisch sind). Wenn ich
> in meinem Tangentialraum kartesische Koordinaten und die
> dazugehoerige Standardbasis hernehme, sollte die duale
> Basis doch ebenfalls identisch zu dieser Standardbasis
> sein. Entsprechend gilt dann doch [mm]df = \nabla{f}[/mm] (fuer [mm]P \in M[/mm]
> und global wenn meine Mannigfaltigkeit aus [mm]R^n[/mm] selbst ist).
> Die "Philosophie" bei [mm]df[/mm] und [mm]\nabla{f}[/mm] ist sicherlich eine
> andere, aber im [mm]R^n[/mm] wuerde ich beide Objekte durch
> dieselben n-Tupel beschreiben.
Im Fall des [mm]R^{n}[/mm] ist df dann das ganz gewöhnliche Differential [mm]Df:R^{n}\to L(R^{n}, R)=(R^{n})^{\star}[/mm], und wie schon im letzten Post geschrieben, ist gradf das dazu duale Objekt.
>
> Tatsächlich ist df das zu gradf
> > duale Objekt. Was man damit meint ist das folgende: Der
> > Gradient ist immer bezüglich einer Metrik definiert. Man
> > hat also erst einen Gradienten, wenn man auf einer
> > Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik fixiert. Sobald
> > man das macht, hat man aber einen kanonischen (!)
> > Isomorphismus zwischen Tangentialraum und Kotangentialraum
> > (merke: im allgemeinen sind Vektorräume über R gleicher
> > Dimension zwar isomorph, aber nicht kanonisch isomorph;
> > jeder Iso ist von der Basiswahl abhängig);
>
> Ich habe auf die Schnelle nicht finden koennen, was der
> Unterschied zwischen isomorph und kanonisch isomorph ist.
> Aber wie gesagt, sind im [mm]R^n[/mm] nicht beide Raeume identisch?
>
Also. Tatsächlich kommt man jetzt in ein Dilemma. Im Allgemeinen gibt es zwischen Vektorraum und seinem dual immer einen Iso. (unendlich viele sogar) Aber keinen ausgezeichneten. Jeder ist von der Basiswahl abhängig. Hat man aber ein Skalarprodukt <,>, so gibt es einen natürlich Isomorphismus (vermutlich gängiger als kanonisch), nämlich [mm]v\mapsto [/mm]. Was natürlich genau heißt wird in der Kategorientheorie geklärt. Tatsächlich macht es in so einem Fall noch wenig Sinn zwischen VR und seinem Dual zu unterscheiden. Aber das verwirrt hier eher nur. Es sei halt bloß gesagt, dass es eine sehr enge Beziehung zwischen gradf und df(merke: das ist das normale Differential von f!!) gibt. Das ist aber hier auch wie gesagt keine Besonderheit des [mm]R^{n}[/mm]. Sobald man auf einer Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik hat, kann man sich auf den Standpunkt stellen, dass Tangentialraum und Kotangentialraum ununterscheidbar sind, weil es einen natürlich Isomorphismus gibt. Ich würde dir aber vorschlagen das zunächst mal zu ignorieren.
Was man aber machen kann, ist eben im [mm]R^{n}[/mm] gar nicht den Tangentialraum zu betrachten, und die Difformen spannen dann halt punktweise (!) den Dualraum vom Basisraum auf.
> > > Das Problem wird noch deutlicher beim Integrieren von
> > > Diff-Formen: Die Basisvektoren [mm]dx_i[/mm] werden nun als
> > > infinitesimales Inkrement
> > > interpretiert. Betrachten wir das Integral über die
> > > 1-Form [mm]\omega[/mm] = [mm]f_i dx_i:[/mm]
> > >
> > > [mm]\int{\omega}[/mm] = [mm]\int{f_i dx_i}[/mm] (*)
> > >
> > > Während die rechte Seite aussieht wie ein Wegintegral
> > > (bekannt aus der Physik zur Berechnung der Arbeit oder
> > > Zirkulation), steht dort doch eigentlich
> > Ein Wegintegral seh ich da jetzt nicht. Oder
> integrierst
> > du über eine Kurve? Wie dem auch sei: Das Integral einer
> > Differentialform ist einfach so definiert. Auf der rechten
> > Seite brauch dann keine Diffform mehr zu stehen. Man setzt
> > einfach:
> > [mm]\int{\omega}[/mm] := [mm]\int{f_i dx_i}[/mm]
>
> Das muss ich wohl so hinnehmen Ich denke ich bin
> verwirrt, weil normalerweise ein Integral ueber einen
> Vektor wieder einen Vektor ergibt (wenn ich ueber den
Wie gesagt. Du integrierst hier keinen Vektor des [mm]R^{n}[/mm]. Und das Integral über eine Diffform ist so definiert wies oben steht.
> Geschwindigkeitsvektor integriere, bekomme ich die Position
> -- beides Vektoren). Hier wird nun ein Tensor in das
> Integral gesteckt und heraus kommt ein Skalar. Aber
> vielleicht ist die linke Seite eher symbolisch zu
> verstehen.
>
> > > 1) die Koordinatendifferentiale eigentlich
> > > Einheitsvektoren sind aber jetzt plötzlich als
> > > infinitesimale Größen, als Teil des Integraloperators
> > > interpretiert werden
> > Nein. Zunächst mal gibt es in der herkömlichen
> Analysis
> > keine infinitesimalen Größen.
>
> Obwohl das nicht das Hauptthema ist: Wieso gibt es in der
> Analysis keine infinitesimalen Groessen? Das Integral wird
> doch ueber eine Limesbildung definiert (die gesamte
> Analysis (aka Infinitesimalrechnung) basiert doch auf
> infinitesimalen Groessen...oder sollte ich da all die Jahre
> etwas missverstanden haben?
Ja. Limesbildung liefert ja immer einen endlichen Wert, (sonst sagt man ja, dass dieser nicht existiert) ist insbesondere ein wohldefinierter Prozess in den reellen Zahlen, und diese enthalten nunmal nichts infinitesimales. Physiker benutzen diese Begriffe immer noch da es wohl gut mit der Intuition verträglich ist (weiß ich nichts zu zu sagen, ich bin kein Physiker ;) ). In der Mathematik gibt es sowas bloß in moderneren Entwicklungen (läuft unter dem Namen Nicht-Standard Analysis; hab ich aber keine Ahnung von). Historisch war das wohl auch was Leibniz bei Entwicklung seines Kalküls im Sinn hatte; als man aber im 19. Jh die formale Basis aufbaute ging man in eine andere Richtung, indem man den Grenzwertbegriff definierte.
>
> Man kann glaube ich mein Problem so zusammenfassen:
>
> In Diff-Form Schreibweise ist:
>
> [mm]\sum_{i}^n f_i dx_i[/mm] ein Cotangentialvektor, darstellbar
> durch eine Zeilenmatrix und
>
> [mm]\sum_{i}^n f_i (\partial / \partial x_i)[/mm] ein
> Tangentialvektor, darstellbar durch eine Spaltenmatrix.
>
Es ist meiner Ansicht nach wenig sinnvoll sich alles als Matrizen vorzustellen. Natürlich ist im endlichen Fall jeder Vektor eines jeden Vektorraums sowohl als Zeilen- als auch als Spaltenvektor im gewöhnlichen [mm]R^{n}[/mm] darstellbar. Das versperrt aber eher den Blick auf die wesentlichen Eigenschaften der Objekte.
> In konventioneller Notation ist:
>
> [mm]\sum_{i}^n f_i dx_i[/mm] ein Skalar, das eine infinitesimale
> Aenderung der Funktion [mm]\mathbf{f}[/mm] in Richting [mm]d\mathbf{r}[/mm]
> beschreibt und
>
> [mm]\sum_{i}^n f_i (\partial / \partial x_i)[/mm] ein Operator, der
> die Richtungsableitung beschreibt und auf eine Funktion
> angewendet wird.
>
> Obwohl die Notation identisch ist, werden jeweils
> verschiedene mathematische Objekte beschrieben. Ich bin
> verwirrt, weil sich normalerweise in Mathe alles zu einem
> grossen Bild zusammenfuegt und v.a. konsistent ist. Hier
> sehe ich das irgendwie noch nicht ...
>
Ich hoffe dieses Problem löst sich dann nach den obigen Ausführungen auch.
Viele Grüße,
Berieux
> Herzlichen Dank fuer Deine Geduld,
>
> Y.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Fr 17.02.2012 | | Autor: | yoda_rdu |
Hi Berieux,
vielen Dank fuer Deine Ausfuehrungen! Leider verstehe ich nur Bruchstuecke davon. Ich glaube ein Problem ist, dass bestimmte Begriffe in der reinen Mathematik und in der Physik verschiedene Bedeutungen haben (was ist ein Differential, was bedeutet es, wenn zwei Objekte identisch sind,...). Diese Diskussion zeigt mir vor allem, dass ich noch einiges an Arbeit vor mir habe.
Also beste Gruesse,
Y.
> >
> > zunaechst besten Dank fuer Deine Antwort!
> >
> > Ich hatte schon befuerchtet, dass ich Aerger dafuer
> > bekomme, nicht sauber zwischen Vektoren, Tangentialraum,
> > Abbildungen und Kotangentialraum unterschieden zu haben.
> > Allerdings verstehe ich noch nicht, wieso diese
> > Unterscheidung mein Problem loest. Auch wenn
> > Differentialformen ihren Nutzen erst auf einer
> > Mannigfaltigkeit entfalten, muesste man ja konsistente
> > Ergebnisse auch im [mm]R^n[/mm] bekommen. Aber gehen wir ruhig auf
> > eine beliebige Mannigfaltigkeit und bleiben wir bei den
> > 1-Formen.
> >
> > Sei also [mm]M[/mm] eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit. Hier kann
> > ich an einem Punkt [mm]P[/mm] ueber die Richtungsableitung
> > Tangentialvektoren definieren, die entsprechend einen
> > Vektorraum aufspannen. Die Basis dieses Raumes wird mit
> > [mm]\{\partial / \partial x_1, ..., \partial / \partial x_n\}[/mm]
> > bezeichnet. Der Tangentialvektor [mm]v[/mm] schreibt sich dann als
> > [mm]\sum_{i=1}^n v_i \partial / \partial x_i[/mm] (auf diese
> > Schreibweise wuerde ich gerne gleich noch einmal
> > zurueckkommen). Der Raum, in dem die Tangentialvektoren
> > leben, wird mit [mm]T_p(M)[/mm] bezeichnet.
> >
> Die Schreibweise [mm]\{\partial / \partial x_1, ..., \partial / \partial x_n\}[/mm]
> für die Basis des Tangentialraums, rührt daher, dass man
> den Tangentialraum als Raum der Derivationen in p auffassen
> kann. Darüberhinaus solltest du dir unbedingt klarmachen,
> was [mm]\partial / \partial x_i[/mm] hier genau bedeutet (diese
> Operatoren sind bezüglich einer Karte definiert!).
>
>
> > Nun definiert man Abbildungen, die einem Punkt [mm]P[/mm] aus [mm]M[/mm]
> > einen Cotangentialvektor zuordnen. Diese Abbildungen
> > bilden einen Vektorraum und man kann eine Basis definieren,
> > [mm]\{dx_1, ..., dx_n\}[/mm], die [mm]dx_i(\partial/\partial{x_j}) = \delta_{ij}[/mm]
> > erfuellt (so wie ich das sehe, ist diese Definition
> > aequivalent zur Definition des Dualraums, die Elemente aus
> > [mm]T_p(M)[/mm] nach [mm]R[/mm] abbildet). Wenn man bei Forsters Band 3 auf
> > S. 194 nachschaut wird deutlich, dass zumindest im [mm]R^n[/mm] fuer
> > das Skalarprodukt [mm](dx_i, \mathbf{e}_j) = \delta_{ij}[/mm] gilt.
> > Daraus schliesse ich, dass [mm]\{dx_1, ..., dx_n\}[/mm] die zum
> > Tangentialraum [mm]T_p(M)[/mm] dualen Einheitsvektoren sind (und im
> > Raum [mm]T_p^{*}(M)[/mm] angesiedelt sind). Verstehe ich das
> > richtig, dass die Cotangentialvektoren "keine wirklichen
> > Vektoren" sind, da man zu deren Definition Vektoren (aus
> > dem Tangentialraum) benoetigt?
> >
> Ok. Hier fang ich mal von vorne an. Diese [mm]dx_{i}[/mm] die du da
> oben beschreibst, sind keine (!) Differentialformen,
> sondern tatsächlich Dualvektoren, dh Auswertungen von
> Diffformen an einem Punkt p.
>
> Allgemein für [mm]R^{n}[/mm]: Sei [mm]U\subset R^{n}[/mm] offen. Dann
> heißen die glatten Abbildungen [mm]\omega:U\to \Lambda^{k} (R^{n})^{\star}[/mm]
> Differentialformen vom Grad k. (Achtung: Für abstrakte
> Mannigfaltigkeiten definiert man die Dinger als Schnitte im
> k-ten äußeren Produkt des Kotangentialbündels, und
> dieses ist eine 2n-dim Mannigfaltigkeit; wobei man im
> einfachen Fall des [mm]R^{n}[/mm] das k-te Produkt von etwas
> n-dimensionalem nimmt! Das kann man machen, weil das
> Konzept des Tangentialraums hier eben eigentlich
> überflüssig ist, und man auch Vektorfelder einfach als
> "normale" glatte Abbildungen auffassen kann, und tut).
>
> Bleiben wir aber im [mm]R^{n}[/mm]. Diese k-Formen bilden einen
> R-Vektorraum [mm]\Omega^{k}(U)[/mm] (tatsächlich natürlich noch
> mehr als das). Dieser Vektorraum hat aber direkt nichts mit
> dem Tangentialraum zu tun, und ist darüberhinaus sogar
> unendlichdimensional als R-Vektorraum. Aufgefasst als Modul
> über dem Ring der glatten Funktionen hat er Rang n (das
> ist auch global bloß im linearen Fall so; Für nicht
> lineare Mannigfaltigkeiten bilden die k-Formen bloß lokal
> einen freien [mm]\mathcal{C}^{\infty}-Modul [/mm], was nichts
> anderes bedeutet als dass du lokal Basisdiffformen hast.
> Als R-Vektorraum bleibt aber [mm]\Omega^{k}(U)[/mm] für alle
> offenen U unendlichdimensional.
>
> Das was du da oben beschreibst, ist der Kotangentialraum in
> einem Punkt p aufgespannt von [mm]dx_{1}(p),...,dx_{n}(p)[/mm]. Was
> natürlich ein n-dim R-Vektorraum ist.
> Also, was Forster jetzt vermutlich macht (hab das Buch
> nicht hier), ist dass man den Tangentialraum umgeht.
> Dementsprechend, gilt in jedem Punkt p: [mm]dx_{i}(p)[/mm] ist der
> duale Vektor zu [mm]e_{i}[/mm]. Aber identisch sind sie nicht!
> Sondern [mm]dx_{i}(p)\in (R^{n})^{\star} [/mm]; und dass da irgendwo
> [mm](dx_{i}, e_{j})= \delta_{ij}[/mm] für das normale SKP steht
> kann ich mir eigentlich schlecht vorstellen. Was Sinn
> macht, ist [mm]dx_{i}(p)(e_{j})=\delta_{ij}[/mm], oder vielleicht
> [mm]dx_{i}(p)=(e_{i}, \dot )[/mm].
> Und wie gesagt: [mm]dx_{i}[/mm] kann schon gar nicht identisch zu
> [mm]e_{i}[/mm] sein, sondern ist ein Element im
> undendlich-dimensionalen Vektorraum [mm]\Omega(R^{n})[/mm].
>
> > > Jetzt hat man punktweise natürlich einen Isomorphismus
> > > [mm]T_{p}^{\star}M \cong R^{n}, dx_{i}_{p}\mapsto e_{i}[/mm].
> > > Dasselbe natürlich für den Tangentialraum, und somit wird
> > > punktweise - unter der Verknüpfung dieser Isomorphismen -
> > > df auf grad(f) geworfen.
> >
> > Ich habe schon oefters gelesen, dass ein Vektorraum und
> > sein Dualraum isomorph zueinander sind. Im [mm]R^n[/mm] sind aber
> > beide Raeume identisch, oder? Also sind auch die
> Nein, identisch sind sie nicht.. Dass ein
> endlichdimensionaler VR zu seinem Dualraum isomorph ist,
> ist tatsächlich trivial, weil jeder n-dim R-Vektorraum zum
> [mm]R^{n}[/mm] isomorph ist.
>
> > Standard-Dualbasis und die Standardbasis identisch (das
> > geht z.B. aus der Definition der ko- und kontravarianten
> > Basisvektoren hervor, die im [mm]R^n[/mm] identisch sind). Wenn ich
> > in meinem Tangentialraum kartesische Koordinaten und die
> > dazugehoerige Standardbasis hernehme, sollte die duale
> > Basis doch ebenfalls identisch zu dieser Standardbasis
> > sein. Entsprechend gilt dann doch [mm]df = \nabla{f}[/mm] (fuer [mm]P \in M[/mm]
> > und global wenn meine Mannigfaltigkeit aus [mm]R^n[/mm] selbst ist).
> > Die "Philosophie" bei [mm]df[/mm] und [mm]\nabla{f}[/mm] ist sicherlich eine
> > andere, aber im [mm]R^n[/mm] wuerde ich beide Objekte durch
> > dieselben n-Tupel beschreiben.
>
> Im Fall des [mm]R^{n}[/mm] ist df dann das ganz gewöhnliche
> Differential [mm]Df:R^{n}\to L(R^{n}, R)=(R^{n})^{\star}[/mm], und
> wie schon im letzten Post geschrieben, ist gradf das dazu
> duale Objekt.
> >
> > Tatsächlich ist df das zu gradf
> > > duale Objekt. Was man damit meint ist das folgende: Der
> > > Gradient ist immer bezüglich einer Metrik definiert. Man
> > > hat also erst einen Gradienten, wenn man auf einer
> > > Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik fixiert. Sobald
> > > man das macht, hat man aber einen kanonischen (!)
> > > Isomorphismus zwischen Tangentialraum und Kotangentialraum
> > > (merke: im allgemeinen sind Vektorräume über R gleicher
> > > Dimension zwar isomorph, aber nicht kanonisch isomorph;
> > > jeder Iso ist von der Basiswahl abhängig);
> >
> > Ich habe auf die Schnelle nicht finden koennen, was der
> > Unterschied zwischen isomorph und kanonisch isomorph ist.
> > Aber wie gesagt, sind im [mm]R^n[/mm] nicht beide Raeume identisch?
> >
> Also. Tatsächlich kommt man jetzt in ein Dilemma. Im
> Allgemeinen gibt es zwischen Vektorraum und seinem dual
> immer einen Iso. (unendlich viele sogar) Aber keinen
> ausgezeichneten. Jeder ist von der Basiswahl abhängig. Hat
> man aber ein Skalarprodukt <,>, so gibt es einen natürlich
> Isomorphismus (vermutlich gängiger als kanonisch),
> nämlich [mm]v\mapsto [/mm]. Was natürlich genau heißt
> wird in der Kategorientheorie geklärt. Tatsächlich macht
> es in so einem Fall noch wenig Sinn zwischen VR und seinem
> Dual zu unterscheiden. Aber das verwirrt hier eher nur. Es
> sei halt bloß gesagt, dass es eine sehr enge Beziehung
> zwischen gradf und df(merke: das ist das normale
> Differential von f!!) gibt. Das ist aber hier auch wie
> gesagt keine Besonderheit des [mm]R^{n}[/mm]. Sobald man auf einer
> Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Metrik hat, kann man sich
> auf den Standpunkt stellen, dass Tangentialraum und
> Kotangentialraum ununterscheidbar sind, weil es einen
> natürlich Isomorphismus gibt. Ich würde dir aber
> vorschlagen das zunächst mal zu ignorieren.
> Was man aber machen kann, ist eben im [mm]R^{n}[/mm] gar nicht den
> Tangentialraum zu betrachten, und die Difformen spannen
> dann halt punktweise (!) den Dualraum vom Basisraum auf.
>
> > > > Das Problem wird noch deutlicher beim Integrieren von
> > > > Diff-Formen: Die Basisvektoren [mm]dx_i[/mm] werden nun als
> > > > infinitesimales Inkrement
> > > > interpretiert. Betrachten wir das Integral über die
> > > > 1-Form [mm]\omega[/mm] = [mm]f_i dx_i:[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\int{\omega}[/mm] = [mm]\int{f_i dx_i}[/mm] (*)
> > > >
> > > > Während die rechte Seite aussieht wie ein Wegintegral
> > > > (bekannt aus der Physik zur Berechnung der Arbeit oder
> > > > Zirkulation), steht dort doch eigentlich
> > > Ein Wegintegral seh ich da jetzt nicht. Oder
> > integrierst
> > > du über eine Kurve? Wie dem auch sei: Das Integral einer
> > > Differentialform ist einfach so definiert. Auf der rechten
> > > Seite brauch dann keine Diffform mehr zu stehen. Man setzt
> > > einfach:
> > > [mm]\int{\omega}[/mm] := [mm]\int{f_i dx_i}[/mm]
> >
> > Das muss ich wohl so hinnehmen Ich denke ich bin
> > verwirrt, weil normalerweise ein Integral ueber einen
> > Vektor wieder einen Vektor ergibt (wenn ich ueber den
> Wie gesagt. Du integrierst hier keinen Vektor des [mm]R^{n}[/mm].
> Und das Integral über eine Diffform ist so definiert wies
> oben steht.
>
> > Geschwindigkeitsvektor integriere, bekomme ich die Position
> > -- beides Vektoren). Hier wird nun ein Tensor in das
> > Integral gesteckt und heraus kommt ein Skalar. Aber
> > vielleicht ist die linke Seite eher symbolisch zu
> > verstehen.
> >
> > > > 1) die Koordinatendifferentiale eigentlich
> > > > Einheitsvektoren sind aber jetzt plötzlich als
> > > > infinitesimale Größen, als Teil des Integraloperators
> > > > interpretiert werden
> > > Nein. Zunächst mal gibt es in der herkömlichen
> > Analysis
> > > keine infinitesimalen Größen.
> >
> > Obwohl das nicht das Hauptthema ist: Wieso gibt es in der
> > Analysis keine infinitesimalen Groessen? Das Integral wird
> > doch ueber eine Limesbildung definiert (die gesamte
> > Analysis (aka Infinitesimalrechnung) basiert doch auf
> > infinitesimalen Groessen...oder sollte ich da all die Jahre
> > etwas missverstanden haben?
> Ja. Limesbildung liefert ja immer einen endlichen Wert,
> (sonst sagt man ja, dass dieser nicht existiert) ist
> insbesondere ein wohldefinierter Prozess in den reellen
> Zahlen, und diese enthalten nunmal nichts infinitesimales.
> Physiker benutzen diese Begriffe immer noch da es wohl gut
> mit der Intuition verträglich ist (weiß ich nichts zu zu
> sagen, ich bin kein Physiker ;) ). In der Mathematik gibt
> es sowas bloß in moderneren Entwicklungen (läuft unter
> dem Namen Nicht-Standard Analysis; hab ich aber keine
> Ahnung von). Historisch war das wohl auch was Leibniz bei
> Entwicklung seines Kalküls im Sinn hatte; als man aber im
> 19. Jh die formale Basis aufbaute ging man in eine andere
> Richtung, indem man den Grenzwertbegriff definierte.
>
> >
> > Man kann glaube ich mein Problem so zusammenfassen:
> >
> > In Diff-Form Schreibweise ist:
> >
> > [mm]\sum_{i}^n f_i dx_i[/mm] ein Cotangentialvektor, darstellbar
> > durch eine Zeilenmatrix und
> >
> > [mm]\sum_{i}^n f_i (\partial / \partial x_i)[/mm] ein
> > Tangentialvektor, darstellbar durch eine Spaltenmatrix.
> >
> Es ist meiner Ansicht nach wenig sinnvoll sich alles als
> Matrizen vorzustellen. Natürlich ist im endlichen Fall
> jeder Vektor eines jeden Vektorraums sowohl als Zeilen- als
> auch als Spaltenvektor im gewöhnlichen [mm]R^{n}[/mm] darstellbar.
> Das versperrt aber eher den Blick auf die wesentlichen
> Eigenschaften der Objekte.
>
> > In konventioneller Notation ist:
> >
> > [mm]\sum_{i}^n f_i dx_i[/mm] ein Skalar, das eine infinitesimale
> > Aenderung der Funktion [mm]\mathbf{f}[/mm] in Richting [mm]d\mathbf{r}[/mm]
> > beschreibt und
> >
> > [mm]\sum_{i}^n f_i (\partial / \partial x_i)[/mm] ein Operator, der
> > die Richtungsableitung beschreibt und auf eine Funktion
> > angewendet wird.
> >
> > Obwohl die Notation identisch ist, werden jeweils
> > verschiedene mathematische Objekte beschrieben. Ich bin
> > verwirrt, weil sich normalerweise in Mathe alles zu einem
> > grossen Bild zusammenfuegt und v.a. konsistent ist. Hier
> > sehe ich das irgendwie noch nicht ...
> >
> Ich hoffe dieses Problem löst sich dann nach den obigen
> Ausführungen auch.
>
> Viele Grüße,
> Berieux
>
>
> > Herzlichen Dank fuer Deine Geduld,
> >
> > Y.
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