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| Aufgabe | H23.
Es sei [mm] $Mat_N(\IR)$ [/mm] der Vektorraum und Ring der reellen $N [mm] \times [/mm] N$-Matrizen mit der aus der euklidischen Norm des [mm] $\IR^N$ [/mm] resultierenden Operatornorm.
a) Zeigen Sie durch Betrachten der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^{\infty}(1_N [/mm] - [mm] A)^n$ [/mm] , dass im Vektorraum [mm] $Mat_N(\IR)$ [/mm] alle Matrizen A mit [mm] $\left \| 1_N - A \right \| [/mm] < 1$ invertierbar sind und folgern Sie, dass die Gruppe [mm] $GL_N(\IR) [/mm] = [mm] Mat_N(\IR)^{\times}$ [/mm] der invertierbaren Matrizen offen in [mm] $Mat_N(\IR)$ [/mm] ist.
b) Begründen Sie, dass die Inversenbildung $j(A) = [mm] A^{-1}$ [/mm] stetig auf [mm] $GL_N(\IR)$ [/mm] ist.
c) Zeigen Sie, dass $j$ differenzierbar ist mit dem Differential
$dj(A)H = [mm] -A^{-1}HA^{-1}, \quad [/mm] H [mm] \in Mat_N(\IR)$.
[/mm]
Hinweis: Die Operatornorm ist submultiplikativ, erfüllt also die Abschätzung [mm] $\left \| AB \right \| \leq \left \| A \right \| \left \| B \right \|$ [/mm] für alle $A,B [mm] \in Mat_N(\IR)$. [/mm] |
Tja also diese Aufgabe hat mich ziemlich erschlagen, weil es mir schon schwerfällt die Aufgaben zu verstehen.
Mal der Reihe nach.
a) 1) Invertierbarkeit
Also ich kenne im moment keinen wirklichen Zusammenhang zwischen Norm und Invertierbarkeit. Nach einigem suchen hab ich etwas in Verbindung zu Eigenwerten gefunden, aber wirklich geholfen hat es nicht. Vor allem aber krieg ich überhaupt keine Verbindung zu der Reihe. Mir fehlt irgendwie welche Beziehung ich hier nutzen kann.
2) Offenheit der Gruppe
Wie kann denn eine Gruppe offen sein? Meint das, wenn die Menge der Gruppe offen ist? Da würde mir nur einfallen zu zeigen, dass das Komplement abgeschlossen ist. Ich glaube der Schlüssel hierzu liegt in der echten Ungleichung von a)1)?
Also hierbei fehlt mir irgendwie einiges :(
b) Im Tutorium wurde immer wieder von der "Wirkung" des Differentials gesprochen. Das habe ich aber noch nicht ganz durchdrungen. Benötige ich das hier oder reicht es zu zeigen, dass die "Inversenbildung" nichts anderes ist als eine Aneinanderkettung von Elemenarmatrizen und diese die Stetigkeit nicht verändern?
Klingt ziemlich salopp formuliert.
c) Ich glaube hier benötige ich die Wirkung des Differentials. Wenn ich damit kräftig umforme, müsste ich dann auf die rechte Seite kommen?
Sind meine Überlegung erst mal richtig oder lauf ich schon beim Ansatz in die falsche Richtung?
Besonders schlimm ist es das ich kaum Ahnung hab wie ich hier ran gehen kann.
Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
Euer Highchiller
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir machen mal a):
Gegeben sei also einen Matrix A mit ||1-A||<1. Setze B:=1-A. Dann haben wir:
A=1-B, ||B||<1 und [mm] ||B^n|| \le ||B||^n.
[/mm]
Setze [mm] B_n:=1+B+B^2+...+B^n. [/mm] Dann ist [mm] (B_n) [/mm] konvergent. Sei C:= lim [mm] B_n.
[/mm]
Beachte: [mm] B_n [/mm] ist die n-te Teilsumme der Reihe $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(1 [/mm] - [mm] A)^n [/mm] $
Wegen
[mm] B_n(1-B)=(1-B)B_n=1-B^{n+1} \to [/mm] 1,
folgt:
CA=AC=1.
A ist also invertierbar.
Zur Offenheit: ist [mm] A_0 [/mm] invertierbar, so ist zu zeigen: es gibt ein c>0 mit: ist [mm] ||A-A_0||
Wir setzen c: [mm] =||A_0^{-1}||^{-1}. [/mm] Sei A so, dass [mm] ||A-A_0||
Setze [mm] C:=1-A_0^{-1}(A_0-A). [/mm] Rechne nach:
$ [mm] A=A_0*C$ [/mm] und $||1-C||<1.$
Damit ist C invertierbar, also ist A als Produkt invertierbarer Matrizen auch invertierbar.
FRED
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Di 13.12.2011 | | Autor: | dimi727 |
Hallo,
könntest du bitte noch erläutern wie du auf die Konvergenz von $ [mm] (B_n) [/mm] $ schließt und wofür die Abschätzung [mm] $||B^n|| \leq ||B||^n$ [/mm] benötigt wird?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> könntest du bitte noch erläutern wie du auf die
> Konvergenz von [mm](B_n)[/mm] schließt und wofür die Abschätzung
> [mm]||B^n|| \leq ||B||^n[/mm] benötigt wird?
Betrachte die Reihe $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}B^n [/mm] $
Es ist [mm]||B^n|| \leq ||B||^n[/mm] und ||B|| <1, also ist $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}||B||^n [/mm] $ konvergent.
Damit ist (Majorantenkrit. !) $ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}B^n [/mm] $ konvergent, und damit konv. [mm] (B_n)
[/mm]
FRED
>
> Grüße
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1 ist hier doch aber [mm] $1_N$ [/mm] und damit nicht die Einheitsmatrix sondern die Einsmatrix. Damit folgt daraus doch nicht die Invertierbarkeit von A.
Oder bring ich grad was durcheinander?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > CA=AC=1
> 1 ist hier doch aber [mm]1_N[/mm] und damit nicht die
> Einheitsmatrix sondern die Einsmatrix. Damit folgt daraus
> doch nicht die Invertierbarkeit von A.
>
> Oder bring ich grad was durcheinander?
Ich habe 1 statt [mm] 1_N [/mm] geschrieben. Gemeint ist die NxN - Einheitsmatrix.
FRED
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Hmm, ich hätte gedacht das solle die Einsmatrix sein, weil sie normalerweise [mm] $I_N$ [/mm] als Einheitsmatrix schreiben. Also in den Aufgabenstellungen.
Naja egal. Vielen Dank für die Hilfe.
Zu b) Würde ich halt so argumentieren wie oben.
Aus a) wissen wir, es existiert ein Inverses zu A. Dann gilt aus der linearen Algebra, dass sich A mittels Elementarmatrizen in die Inverse rechnen lässt. Da die Elementarmatrizen stetig sind und eine Komposition stetiger Abbildungen ebenfalls stetig ist, folgt das j stetig ist.
Jetzt zu c)
Also damit komm ich immernoch gar nicht klar. Ich versuch die ganze Zeit etwas mit der Wirkung des Differentials anzufangen. Dazu vielleicht ein kleiner Auszug aus der Übung:
Es seien X,Y endlich-dimensionale, normierte [mm] $\IK$-Vektorräume, [/mm] $U [mm] \subset [/mm] X$ offen und $f : U [mm] \to [/mm] Y$. Dann heißt f in $x [mm] \in [/mm] U$ differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung $A: X [mm] \to [/mm] Y$ gibt, so dass
$f(x+h) = f(x) + Ah + [mm] \phi [/mm] (h)$
für alle h aus einer Umgebung von $0 [mm] \in [/mm] X$ mit [mm] $\left \| \phi (h) \right \| [/mm] = [mm] o(\left \| h \right \|), \quad [/mm] h [mm] \to [/mm] 0$. Dann heißt $df(x) := A$ das Differential von f an der Stelle x. Wobei Ah die Wirkung des Differentials ist.
Also ich bin mir sicher das ich das brauche für c. Aber ich bekomm es nicht angewendet.
$j(A+H) = [mm] (A+H)^{-1}$
[/mm]
Das hilft ja auch nicht.
Oder via Kettenregel:
$dj(A)H = dA [mm] \cdot [/mm] dj(A)H$ ???
Irgendwie kann das auch nicht sein.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 15.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 15.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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