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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Fr 27.07.2007 | | Autor: | JB84 |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] x(0)=x_{0}
[/mm]
x'(t)=-x(t)+sin(wt) |
Also, Ich versuche das über Sep. der Variablen und erhalten die homogene Lösung
[mm] x=c(t)e^{-t}
[/mm]
Ich leite ab und setze ein:
[mm] c'(t)e^{-t}-c(t)e^{-t}=-c(t)e^{-t}+sin(wt)
[/mm]
Löse auf:
[mm] c'=\bruch{sin(wt)}{e^{-t}}
[/mm]
Wie gehe ich jetzt weiter? Oder muss ich das jetzt wirklich integrieren? Habe ich einen Fehler gemacht?
Gruss Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 27.07.2007 | | Autor: | maybe. |
Hallo!
du hast hier eine gewoehnliche lineare und inhomogene dgl. um die loesung dieser zu erhalten musst du DIE homogene Lösung und EINE inhomogene Lösung.
Die homogene Lösung erhälst du tatsächlich durch sep. d. variablen.
da kommt eigentlich raus:
> [mm]x_{hom}(t)=x_{0}e^{-t}[/mm]
Aus deinem Ansatz
> [mm]x=c(t)e^{-t}[/mm]
sehe ich, dass du die inhomogene Gleichung mit Variation der Konstanten lösen willst, was auch ok ist. Deine weitere Rechunug ist auch richtig. Das Integral
ist doch auch nicht sooo wild. du hast das bissl komisch geschrieben. Also [mm] 1/e^{-t} [/mm] ist doch wieder [mm] e^t. [/mm] Du hast also nur ein produkt da stehn. (partielle Integration!)
In diesem Fall ist es aber leichter einen Ansatz zu wählen und dann die Koeffizienten zu vergleichen. Ich weiss jetzt nicht ob ihr sowas gemacht habt oder ob ihr Variation der Konstanten machen müsst aber ich gebe dir mal den Ansatz:
x(t) = Asin(wt) + Bcos(wt)
Es ist auch nicht so schwer darauf zu kommen, denn die Inhomogenitaet ist ja nur ein sin(wt), und dessen Ableitungen sind ja immer wieder cos(wt) oder sin(wt) mit entsprechenden Vorfaktoren, die du ja durch den Ansatz (A,B) ausrechnest.
Die ganze Lösung ist dann also die Summe aus der homogenen Lösung und der inhomogenen.
Ich hoffe das hilft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jonas!
Das Integral für $c'(t) \ = \ [mm] \bruch{\sin(\omaga*t)}{e^{-t}} [/mm] \ = \ [mm] e^t*\sin(\omega*t)$ [/mm] lässt sich über (2-fache) partielle Integration lösen.
Gruß
Loddar
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