Different. bei fallweise Defin < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe eine allgemeine Frage, welche ich in keinem anderen Forum gestellt habe:
Wenn ich eine Funktion habe, die "aufgesplittet" ist:
[mm] f(x,y)=\begin{cases} f(x,y), & \mbox{für } (x,y) \mbox{ ungleich (0,0)} \\ k, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ gleich (0,0), k reelle Zahl} \end{cases}
[/mm]
Wie bilde ich dann die Ableitung? Einfach für beide Definitionen die Ableitung bilden ist ja "falsch", wenn ich mir einfach die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ gleich 0} \end{cases}
[/mm]
angucke. Weil dort wäre ja die Ableitung 1 für x ungleich 0 und 0 für x gleich 0. Oder IST das einfach die Ableitung und die ist einfach nicht mehr stetig? Würde allerdings im Widerspruch zu meiner Aufgabe hier stehen (eine Funktion wird auf 0 abgebildet für (x,y)=(0,0) und es soll gezeigt werden, dass die zweiten Partiellen Ableitung von f(0,0) nach dx*dy ungleich der nach dy*dx ist). Aber wie soll ich das dann machen mit meiner Ableitung? Einfach die Ableitung von f(x,y) bilden und dann den Grenzwert für x,y -> (0,0) angucken? wobei auch das wieder nicht eindeutig ist, wenn die Funktion in (0,0) nicht stetig ist.
Danke schonmal für eure Hilfe!
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Zunächst mal: du kannst f(x,y) nicht einfach mit f(x,y) definieren, weil sich sonst widersprüchliche Definitionen ergeben. Ich nehme an, du meinst eine neue Funktion [mm] f_1 [/mm] mit
[mm]f_1(x,y)=\begin{cases} f(x,y), & \mbox{für } (x,y) \mbox{ ungleich (0,0)} \\ k, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ gleich (0,0), k reelle Zahl} \end{cases}[/mm]
1. Schritt:
[mm] f_1 [/mm] muss im Anschlusspunkt stetig sein. Das ist z.B. für dein Beispiel der Fall. Andernfalls ist [mm] f_1 [/mm] gar nicht differenzierbar, z.B.
[mm]f_1(x)=\begin{cases} 3, & \mbox{für } x<=0 \\ 4, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
Hier ist [mm] f_1 [/mm] bei 0 gar nicht differenzierbar.
2. Schritt:
Sind beide Funktions-Anteile bis zum Anschlusspunkt (einschließlich oder ausschließlich) differenzierbar und stimmen die Ableitungswerte überein, so ist [mm] f_1 [/mm] differenzierbar mit dem angegebenen Wert.
Bei meinem Beispiel hätten 3 und 4 jeweils die Ableitung 0 und es würde klappen, aber wegen des Versagens im 1. Schritt ist die Fkt. nicht diffb.
Sind beide Funktions-Anteile bis zum Anschlusspunkt (einschließlich oder ausschließlich) differenzierbar und stimmen die Ableitungswerte nicht überein, so ist [mm] f_1 [/mm] dort nicht differenzierbar. Dies haben wir z.B. bei der Betragsfunktion:
[mm]f_1(x)=\begin{cases} -x, & \mbox{für } x<=0 \\ x, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
Zwar ist [mm] f_1(0)=0 [/mm] dort stetig, aber links ist die Ableitung -1 und rechts 1.
3. Schritt:
Die Funktion ist stetig, aber die Ableitung existiert nicht als Grenzwert für eine oder beide Teilfunktionen.
Dann muss man über den Differenzenquotienten versuchen, die Differenzierbarkeit zu erkennen.
Beispiel: [mm] f(x)=x^2*sin(1/x) [/mm] ist für x=0 nicht definiert.
Bilde
[mm]f_1(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm].
Weil sin(1/x) zwischen -1 und 1 schwankt und dieser Wert mit [mm] x^2 [/mm] multipliziert wird, ist [mm] |f(x)|
Für 0 ist zwar die Ableitung 0, aber da dieser Funktionsteil nur für einen Punkt definiert ist, hat hier eine Ableitung keinen Sinn.
[mm] f'(x)=2x*sin(1/x)+x^2*cos(1/x)*(-1/x^2)=2x*sin(1/x)-cos(1/x)
[/mm]
2x*sin(1/x) geht für x-->0 wieder wie f selber gegen 0, aber -cos(1/x) schwankt bei Annäherung an 0 unendlich oft zwischen -1 und 1, so dass f' keinen Grenzwert hat.
Aber: Für [mm] x\not=0 [/mm] ist
[mm] m=\bruch{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}=\bruch{x^2*sin(1/x)-0}{x-0}=
[/mm]
[mm] \bruch{x^2*sin(1/x)}{x}=x*sin(1/x)
[/mm]
der Differenzenquotient, der für x-->0 nach 0 geht.
Daher ist [mm] f_1 [/mm] doch in 0 differenzierbar mit [mm] f_1'(0)=0.
[/mm]
Erklärung:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Fährt man auf dem Graphen zum Ursprung, schwanken die Tangenten (blau) mit ihren Steigungen von -1 bis 1. Hält man aber die Sekante (grün) vom fahrenden Punkt zum Ursprung im Ursprung fest, wackelt der rechte Rand immer weniger auf und ab, die Steigung pendelt sich auf 0 ein.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 So 25.05.2008 | | Autor: | JustSmile |
Super mega vielen Dank für diese einleuchtende und ausführliche Erklärung! Echt spitze...! Hoffe, ich kann das dann jetzt auch auf meine Aufgabe übertragen^^ Ich werde mal mein Bestes geben und ggf. nochmal eine Rückfrage stellen.
Einen schönen Sonntag noch!
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